可加布朗運動增量“快點”集的Packing維數

邱志平，林火南

（1.華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021；2.福建師范大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350007）

可加布朗運動增量“快點”集的Packing維數

邱志平1，林火南2

（1.華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021；2.福建師范大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350007）

討論可加布朗運動樣本軌道的重分形分析問題.利用構造上極限型集，集的乘積的Packing維數和Hausdorff維數關系的方法，分別得到其局部增量和沿坐標方向增量兩種不同增量形式“快點”集的Packing維數結果.

可加布朗運動；“快點”集；Packing維數；重分形分析

1 預備知識

Orey等［1］在討論布朗運動的重對數律時，得到了布朗運動增量“快點”集的Hausdorff維數結果.在多指標隨機過程研究中，Wiener單是最具重要性和代表性.在討論Wiener單的樣本軌道性質中，可加布朗運動起到關鍵的作用［2-5］，但是，可加布朗運動是可加Lévy過程（Additive Lévy Processes）的特例，是源自Lévy過程的相交與自相交問題［6］.可加Lévy過程是指滿足

條件的多指標隨機過程，即

其中，Xi=｛Xi（t）∶t∈R+｝（1≤i≤N）是取值于Rd相互獨立的Lévy過程.若Xi（1≤i≤N）均為布朗運動，則稱X=｛X（t）∶t｝為可加布朗運動.

而沿坐標方向增量“α-快點”集記為

文［7］得到了AT（α）與BT（α）Hausdorff維數結果，當T＞0，0≤α≤時，則dim（AT（α））=N-α2，a.s.（即幾乎處處，下略）；而當T＞0，0≤α≤1時，則 dim（BT（α））=N-α2，a.s..

定理1 設T＞0，0≤α＜1，AT（α）如式（1）所示，則dim（AT（α））=N，a.s..

定理2 設T＞0，0≤α＜1，BT（α）如式（2）所示，則dim（BT（α））=N，a.s..

由此可發現，當0＜α＜1時，AT（α）和BT（α）的Hausdorff維數與其Packing維數不相等.

2 基本引理

則φ-p（E）是一個測度，稱φ-p（E）為E的Packing測度.定義E的Packing維數為

有關Packing測度和Packing維數的有關性質，可參見文［8］.

設Bi=｛Bi（ti）∶ti∈R+｝（1≤i≤N），是定義在（Ω，F，P）上的標準布朗運動，它們相互獨立，若

3 主要結果及其證明

下面，給出可加布朗運動局部增量“快點”集的Packing維數.

定理3 設T＞0，0≤α0＜1，AT（α0）如式（1）所示，則dim（AT（α0））=N，a.s..

證明 僅對N=2的情況結予證明，N＞2的情況類似可得.不妨假設T=1，α1∈（α0，1），δn=n2-n（n≥1）.定義一族服從（0-1）分布的隨機變量序列｛ZI｝I∈Mn（n≥1）如下：

由布朗運動一致連續模結果［1］可知，幾乎處處（a.s.）地存在n0=n0（ω），使得當n≥n0（ω）時，對于?I∈Mn，?s∈I，有

若進一步地，ZI=1，當n充分大之后，則有

定理4 設T＞0，0≤α0＜1，BT（α0）如式（2）所示，則dim（BT（α0））=N，a.s..

證明 僅對N=2的情況給予證明，N＞2的情況類似可得.由于

對于?E，F?Rd［10］，有

dim（E）+dim（F）≤dim（E×F）≤dim（E）+dim（F）.

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Packing Dimension of“Fast Point”Sets for Additive Brownian Motion

QIU Zhi-ping1，LIN Huo-nan2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.School of Mathematics and Computer Science，Fujian Normal University，Fuzhou 350007，China）

The multifractal analysis for the sample paths of additive Brownian motion is discussed in this paper.The Packing dimension of“fast point”sets determined by the local increment and by the incerment in the direction of coordinate for additive Brownian motion are obtained respectively by means of constructing a limsup random set and the relation between Packing dimension and Hausdorff dimension of the Product sets.

additive Brownian motion；“fast point”sets；Packing dimension；multifractal analysis

O 211.6

A

1000-5013（2010）04-0480-03

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-09-24

邱志平（1979-），男，講師，主要從事隨機過程理論及應用的研究.E-mail：qzp@hqu.edu.cn.

華僑大學科研基金資助項目（08HZR20）