時(shí)域多分辨小波的交替隱式差分方法

湯煒

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021）

時(shí)域多分辨小波的交替隱式差分方法

湯煒

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021）

采用Harr尺度和小波函數(shù)為空間場(chǎng)量展開(kāi)函數(shù)，得到時(shí)域多分辨小波（MRTD）步進(jìn)方程，并與交替隱式差分（ADI-FDTD）結(jié)合，導(dǎo)出ADI-MRTD融合步進(jìn)方程.場(chǎng)量迭代的核心轉(zhuǎn)化為分塊三對(duì)角矩陣線性方程組，提出廣義追趕法進(jìn)行高效求解，討論連接邊界條件的處理，使該方法能夠有效地模擬散射問(wèn)題.以一維問(wèn)題為例，驗(yàn)證ADI-MRTD融合技術(shù)的計(jì)算精度和有效性.

Harr尺度；小波函數(shù)；時(shí)域多分辨；交替隱式差分

時(shí)域有限差分（FDTD）方法已廣泛應(yīng)用于天線、散射和電磁兼容等問(wèn)題的模擬與分析［1-2］.FDTD方法受CFL（Courant-Friedich-Lecy）穩(wěn)定性和空間色散條件的限制，時(shí)間和空間步長(zhǎng)均不能選取太大，使得該方法存在計(jì)算效率不高的缺陷.因此，有些融合其他技術(shù)的新方法，如偽譜時(shí)域差分方法（PSTD）［3-4］、時(shí)域多分辨小波（MRTD）［5-6］及交替隱式差分方法（ADI-FDTD）［7-8］等被相繼提出.PSTD和MRTD是通過(guò)優(yōu)化空間色散關(guān)系提高空間采樣率，而ADI-FDTD時(shí)間色散關(guān)系則是與時(shí)間步長(zhǎng)非相關(guān)的.MRTD靈活的空間抽樣，使其和ADI-FDTD結(jié)合，使得改善空間分辨率和減小運(yùn)算量成為可能.Chen等［9］最早提出這一思想，從理論上對(duì)其穩(wěn)定性給予證明，并通過(guò)諧振腔模分量結(jié)果給出相對(duì)誤差.王麗華等［10］利用Daubechies基重新推導(dǎo)時(shí)間無(wú)關(guān)的穩(wěn)定性證明.相比對(duì)MRTD和ADI-MRTD的研究，這一混合方法迄今仍然沒(méi)有取得較大的進(jìn)展.本文采用Harr尺度和小波函數(shù)作為空間場(chǎng)量的展開(kāi)函數(shù)，得到矩陣形式的MRTD步進(jìn)方程，結(jié)合ADI-FDTD方法并導(dǎo)出ADI-MRTD方法步進(jìn)方程.

1 基于Harr小波的MRTD方程

采用Harr尺度函數(shù)和小波函數(shù)作為空間場(chǎng)量的展開(kāi)函數(shù)，可將MRTD方程改寫(xiě)為［9］

2 ADI-FDTD和MRTD融合技術(shù)

利用一維ADI-FDTD方程［12］，與式（1），（2）相結(jié)合，整理可分別得到如下2個(gè)時(shí)間分步.

（1）第1時(shí)間分步：

（2）第2時(shí)間分步：

與式（4）一起代入式（3），消去時(shí)刻磁場(chǎng)分量，可得

設(shè)矩陣方程MX=V，其中M為三對(duì)角矩陣，則有

式（9）中：Ai，Bi，Ci均為m階方陣，采用Harr小波基時(shí)，m=2.矩陣M通過(guò)LU分解，可以得到

其中，b1=B1，ck=b1-1Ck，bk+1=Bk+1-Ak+1ck，k=1，2，…，n-1.此時(shí)，原方程等價(jià)于Ly=V和Ux=y.采用廣義追趕法求解，即廣義追過(guò)程為

而廣義趕過(guò)程為

式（11），（12）中出現(xiàn)了矩陣求逆，由于分塊矩陣均為2階方陣，求逆過(guò)程并不會(huì)占用太多計(jì)算時(shí)間.

4個(gè)連接邊界條件中，Ncmin，Ncmax分別代表右、左連接邊界點(diǎn)；入射波場(chǎng)量（Einc和Hinc）為列向量，其元素分別為相應(yīng)位置和時(shí)間上入射波的Harr尺度函數(shù)和小波函數(shù)分量.

3 數(shù)值算例

定義CFL約束條件參量αCFL=cΔt/Δs（c為自由空間光速），一維FDTD方法約束條件要求αCFL＜1，選用入射波為時(shí)域高斯脈沖，以提取結(jié)構(gòu)的頻域特性.

例1 無(wú)耗介質(zhì)板的反射系數(shù)（ρR）和透射系數(shù)（ρT）.介質(zhì)板厚度d=9cm，介電常數(shù)εr=4.選取ADI-MRTD空間步長(zhǎng)Δs=1.5mm，時(shí)間步長(zhǎng)Δt通過(guò)αCFL定義來(lái)設(shè)定，例1選擇αCFL=5.介質(zhì)板反射系數(shù)和透射系數(shù)數(shù)值結(jié)果與解析解的對(duì)比，結(jié)果如圖1（a）所示.結(jié)果表明，當(dāng)設(shè)定的αCFL參數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)FDTD的約束條件，也即時(shí)間步長(zhǎng)遠(yuǎn)超過(guò)FDTD的取值范圍，與解析方法的計(jì)算結(jié)果相比，在0～5GHz范圍內(nèi)幾乎重合.由此可以看到，該方法對(duì)這類無(wú)耗媒質(zhì)的適用性.

例2 有耗介質(zhì)板的反射和透射系數(shù).介質(zhì)板厚度同例1，介電參數(shù)為εr=2σ，=0.01s·m-1.ADIMRTD的計(jì)算參數(shù)選取與例1相同，反射系數(shù)和透射系數(shù)的數(shù)值結(jié)果與解析解之間的對(duì)比，結(jié)果如圖1（b）所示.與無(wú)耗介質(zhì)板相比，有耗介質(zhì)平板的反射系統(tǒng)隨頻率增加呈減小趨勢(shì)，透射系數(shù)在0～5GHz范圍內(nèi)基本保持不變.對(duì)比算例1可以看到，介質(zhì)對(duì)電磁波的吸收作用.

圖1 反射系數(shù)和透射系數(shù)隨頻率的變化Fig.1 Reflection and transmission coefficient changes with the frequency

例3 一維光帶隙（PBG）結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng).一維PBG結(jié)構(gòu)由兩種無(wú)耗媒質(zhì)構(gòu)成，如圖2所示.圖2中，媒質(zhì)1（深色）介電常數(shù)εr，1=9，共有7層且每層厚度d1=7.5cm；媒質(zhì)2（淺色）介電常數(shù)εr，2=1，與媒質(zhì)1相間排列，厚度d2=22.5cm.采用ADI-MRTD和FDTD方法，對(duì)該P(yáng)BG結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖3所示.圖3中，F(xiàn)DTD的空間步長(zhǎng)Δs=3.75mm，αCFL=0.5；ADIMRTD的空間步長(zhǎng)與FDTD相同而αCFL=5.

圖2 一維光帶隙結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic one-dimensional photonicbandgap structure

計(jì)算結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)在250～450MHz頻段內(nèi)，入射波被PBG結(jié)構(gòu)反射，傳輸系數(shù)趨于0，使得該結(jié)構(gòu)對(duì)250～450MHz的電波形成傳輸禁帶.圖1（a），（b）和圖3的結(jié)果表明，ADIFDTD和MRTD融合技術(shù)具有較高的計(jì)算精度.這種計(jì)算精度是在αCFL=5條件下得到的，是傳統(tǒng)FDTD約束條件（αCFL=0.5）的10倍.也即是說(shuō)，在相同計(jì)算資源情況下，ADI-MRTD運(yùn)行時(shí)間步數(shù)僅為傳統(tǒng)FDTD的1/10，有效地提高了計(jì)算效率.

雖然ADI技術(shù)使得迭代與時(shí)間步長(zhǎng)無(wú)關(guān)，但仍依據(jù)計(jì)算頻帶最高頻率與時(shí)間抽樣頻率的關(guān)系，即時(shí)間抽樣必須滿足Nyquist抽樣頻率［13］.同時(shí)，與傳統(tǒng)的FDTD，MRTD和ADIFDTD方法相比，ADI-MRTD方法的編程復(fù)雜程度有了很大的增加.究其原因在于，ADI-MRTD方法中步進(jìn)方程參量都是以矩陣形式出現(xiàn)的.

圖3 PBG的反射系數(shù)隨頻率的響應(yīng)Fig.3 Photonicbandgap of the reflection coefficient with frequency response

4 結(jié)束語(yǔ)

ADI-FDTD和MRTD融合技術(shù)保持ADI-FDTD無(wú)條件穩(wěn)定性的同時(shí)，繼承了MRTD解決多尺度電磁問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn).該技術(shù)可以推廣到二維和三維情況，如模擬粗糙表面目標(biāo)散射問(wèn)題.只是在二維和三維問(wèn)題中，無(wú)論吸收邊界還是連接邊界條件，處理過(guò)程都比較復(fù)雜.

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Analysis of the Alternative Direction Implicit Method Based on Multi-Resolution Time-Domain

TAN G Wei
（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

The paper derives the multi-resolution time-domain（MRTD）update equations adopting the Harr scaling and wavelet function as the expanding basis in space domain.The ADI-MRTD formulae are obtained by combining with the alternative-direction implicit/finite difference time-domain（ADI-FDTD）method.Due to the simplification of Harr wavelet，the field components in ADI-MRTD equation can be updated by the blocked tridiagonal linear equation，which can be evaluated by generalized tridiagonal equation method efficiently.Moreover，this paper discusses the adjacent boundary condition to simulation electromagnetic scattering.Finally，the proposed method is validated by some one-dimension numerical examples.

Harr scaling；wavelet function；multi-solution time-domain；alternative-direction implicit/finite difference time-domain

O 241；TN 011

A

1000-5013（2010）04-0404-04

（責(zé)任編輯：魯斌 英文審校：吳逢鐵）

2008-09-28

湯煒（1974-），男，副教授，主要從事電磁場(chǎng)數(shù)值算法的研究.E-mail：tangwei74@hqu.edu.cn.

華僑大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目（08BS411）