利用(G'/G)-展開法求解Brusselator反應(yīng)擴散模型

蘇道畢力格，王曉民

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

利用(G'/G)-展開法求解Brusselator反應(yīng)擴散模型

蘇道畢力格，王曉民

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

本文利用 (G'/G)-展開法,并借助于計算機代數(shù)系統(tǒng) Mathematica,求解了Brusselator反應(yīng)擴散模型的含有雙參數(shù)的用雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)表示的行波解,其中雙曲函數(shù)表示的行波解中參數(shù)取特殊值時可得文獻已有的孤波解.該方法也適用于其它非線性發(fā)展方程(組).

(G'/G)-展開法；精確行波解；Brusselator反應(yīng)擴散模型

1 引言

求解非線性發(fā)展方程是個古老而又重要的問題.由于方程本身的復(fù)雜性,使得求解具有一定的難度.近十年來,科學(xué)家經(jīng)過多年的努力,發(fā)現(xiàn)了一系列構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解的有效方法,如反散射方法[1],Darboux變換法[2],Tanh函數(shù)展開法[3],齊次平衡法[4],輔助方程法[5],(G'/G)-展開法[6]等等.

近年,王明亮等人提出了(G'/G)-展開法,這里的G=G(ξ)滿足一個二階線性常微分方程.該方法的主要思想是:非線性發(fā)展方程的行波解可以表示為(G'/G)的多項式,多項式的次數(shù)可由齊次平衡原則確定，多項式的系數(shù)可通過解一個非線性代數(shù)方程組求得；非線性代數(shù)方程組是應(yīng)用(G'/G)-展開法過程中產(chǎn)生的.該方法具有直接、簡潔與基本的優(yōu)點.很多研究者利用該方法已有效地求解了許多非線性發(fā)展方程[6，7].最近,該方法又有了多種新的推廣[8,9],使得該方法的使用范圍更廣泛.

本文應(yīng)用(G'/G)-展開法求出了Brusselator反應(yīng)擴散模型的含任意參數(shù)的更多的精確行波解.

2 應(yīng)用(G'/G)-展開法求解Brusselator反應(yīng)擴散模型

本節(jié)考慮Brusselator反應(yīng)擴散模型[2,3]

其中p為常數(shù)，d為擴散系數(shù).Brusselator反應(yīng)擴散模型在非線性科學(xué)中有著很重要的意義，很多研究者對其進行求解.如：在文獻[2]中獲得了Brusselator反應(yīng)擴散模型的Auto-Darboux變換(ADT).并且基于這個ADT,得到了若干個精確解；在文獻[3]中,利用一種推廣的tanh函數(shù)法獲得了新的精確行波解.

下面我們利用(G'/G)-展開法求解方程組(1)的新精確行波解.我們可以分下面的五個步驟來求解.

第一步，為了獲得方程組(1)的精確行波解,我們引進如下行波變換

其中c表示波速，是待定常數(shù).我們可將方程組(1)簡化為

第二步，考慮方程組(2)中最高階導(dǎo)數(shù)項與最高次項的齊次平衡,可確定平衡數(shù)M=1,N=1.

第三步，假設(shè)方程組(2)有如下形式的解

其中α0,α1,β0,β1是待定常數(shù)，且函數(shù)G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

其中λ，μ是待定常數(shù).

第四步，將(3)代入(2)，并利用二階線性常微分方程(4)，合并"的同次冪系數(shù)，則(2)的左邊化為"的多項式，令此多項式的系數(shù)全為零，得到關(guān)于α0,α1,β0,β1,λ和μ的非線性代數(shù)方程組.

借助于Mathematica，求解上述非線性代數(shù)方程組，可得到如下七種形式的解：

第一種情形：

第二種情形：

其中2 p+d(λ2-4 μ)且d>0,p,λ,μ為任意常數(shù).

第三種情形：

第四種情形：

其中λ2-4 μ≠0,且d>0，p為任意常數(shù).

第五種情形：

其中α0λ(p-2 α02-4 d μ)≠0,2 α0-α1λ≠0,且d≠0,p,λ,μ為任意常數(shù)，并有第六種情形：

其中λμ≠0,2 λ2+μ≠0,p α1-4 d α0λ≠0,且λ,μ,p為任意常數(shù).

第七種情形:

其中λμ≠0,2 λ2+μ≠0,2 α1-α1λ≠0,且λ,μ,p≠0為任意常數(shù).

第五步，將二階線性常微分方程(4)的三種通解代入(3)，我們可以得到(1)的如下三種行波解：

(I)當(dāng)λ2-4 μ>0時，

u1(ξ)=α0+α1

特別地，如果C1>0,C12>C22,則u1(ξ),v1(ξ)變成如下形式的孤波解：

其中ξ0=t a n h-1(C2/C1).

(I I)當(dāng)λ2-4 μ<0時，

u2(ξ)=α0+α1

(I I I)當(dāng)λ2-4 μ=0時，

將(5)-(11)代入(12)-(15)，我們可以得到方程組(1)的上述三種形式的行波解.

下面以第一種情形為例,構(gòu)造出B r u s s e l a t o r反應(yīng)擴散模型(1)的行波解.

(I)當(dāng)λ2-4 μ>0時，特別地，如果C1>0,C12>C22則u1(ξ),v1(ξ)變成如下形式的孤波解：

其中ξ0=t a n h-1(C2/C1).

(I I)當(dāng)λ2-4 μ<0時，

(I I I)當(dāng)λ2-4 μ=0時，

3 結(jié)論

本文利用(G'/G)-展開法,并借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)M a t h e m a t i c a,求得了B r u s s e l a t o r反應(yīng)擴散模型的多種精確行波解,表示為含參數(shù)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù).由于參數(shù)的任意性,豐富了B r u s s e l a t o r反應(yīng)擴散模型的精確解,其中雙曲函數(shù)表示的行波解中參數(shù)取特殊值時可得到孤波解.這些結(jié)果也證明了(G'/G)-展開法的有效性,該方法也適用于數(shù)學(xué)物理中的其它非線性發(fā)展方程(組).

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O175.29

A

1673-260X（2010）07-0001-03

內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究基金項目(X200833；X200935)