線性代數在數學建模中的應用

李秀蘭，張紅玉

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

線性代數在數學建模中的應用

李秀蘭，張紅玉

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

通過在線性代數教學中的經驗，闡述了線性代數教學中引入實際應用問題的重要性，并且通過具體例題給出了線性代數在數學建模中的應用.

線性代數 數學建模 應用

線性代數是高等院校理工科開設的一門主干課程，它具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性.但是傳統教學中基本采用重概念，重計算的思路方法，這樣，教學的結果只是讓學生感覺到學習線性代數的抽象性、邏輯性，而沒有體現出它的實用性，從而造成了學生學習線性代數的障礙和困難，以致于畢業后不懂得如何運用學過的數學知識去解決實際問題，甚至有人因此認為學數學無用.形成時代要求培養掌握和運用技術的新型人才與現行理工科數學教育脫離的矛盾.

錢學森前輩曾就數學教育改革問題指出：“理工科大學的數學課是不是要改造一番”，以“應付現在的實際”.我們現在處于21世紀，這是一個工程數學技術的時代，與我們所處的時代相適應，理工科數學教育應當包括如下三個方面的內容：基本知識的傳授，自學能力鍛煉，應用數學知識解決實際問題能力的培養.目前國內外高等院校紛紛開展“數學建模與數學模型”教學，這已經成為數學教育改革的一大熱點.

數學建模是對實際問題進行分析，建立數學模型，對模型求解并用于實際問題的處理，它可以訓練學生觀察問題、分析問題以及綜合運用數學知識解決實際問題的能力.姜啟源說，建立數學模型來解決實際問題，是學生在走上工作崗位后常常要做的工作.做這樣的事情，所需要的遠不只是數學知識和解數學題的能力，而需要多方面的綜合知識和能力.社會對具有這種能力的人的需求，比對數學專門人才的需求要多得多.下面通過具體實例來體會應用型問題對線性代數學習的幫助.

例1給出四個城市A、B、C、D，現在想作一次旅游，方式為：先坐火車后坐汽車.即從第一個城市坐火車到第二個城市，然后從第二個城市坐汽車到第三個城市.那么在哪兩個城市之間才能作一次使用兩種交通工具(先坐火車后坐汽車)的旅行？四個城市之間的火車交通線路情況如圖1所示；汽車交通線路情況如圖2所示；反映火車和汽車的交通線路情況如圖3所示.

圖1 火車交通路線

圖2 汽車交通路線

分析：火車交通線路情況、汽車交通線路情況可以用矩陣S，T來描述：

代表坐火車可以從哪個城市到哪個城市

代表坐汽車可以從哪個城市到哪個城市.

圖3 火車和汽車交通路線

從圖3可以看出，可以先坐火車從A到B或到D.從B可以坐汽車回到A，從D也可以坐汽車回到A，所以從A到A可以作兩次旅行 (先坐火車后坐汽車)，但有兩種不同的路線.從A到其它任何城市都不能作這種旅行.如果從B可以坐火車到C，然后坐汽車回到B，當然也可以去A或D.因此，從B到A、B、D都可以先坐火車后坐汽車.其實根據圖3，先坐火車后坐汽車從一個城市到另一城市的旅游可以用矩陣P來描述，

可以發現P就是S，T的乘積,P的第i行第j列的元素表示先坐火車后坐汽車從i城市到j城市的路線數.

這就是矩陣乘積的一個應用，也是建模思想的融入.在類似例題的引導下，教師能夠很容易地引出矩陣的概念、矩陣的乘法，學生掌握起來也很輕松.

例2假定某地人口總數保持不變，每年有5%的農村人口流入城鎮，有1%的城鎮人口流入農村.問該地的城鎮人口與農村人口的分布最終是否會趨于一個“穩定狀態”.

解設該地人口總數為m，從今年開始，第i年該地的城鎮人口數與農村人口數分別為xi與yi，依題意有則αi＋1＝Aαi，經計算可得A的特征值為1和0.94，它們對應的特征向量分別為ξ1＝解關于k1，k2的方程

因此，最終該地的城鎮人口與農村人口的分布最終會趨于一個“穩定狀態”.即城鎮人口約占總人口的，農村人口約占總人口的

這個問題利用特征值和特征向量理論，討論了該地的城鎮人口與農村人口的分布最終會趨于一個“穩定狀態”.

總之，我們在線性代數的教學中，要注重引入實際問題，一方面能培養學生解決實際問題的能力，另一方面能激發同學們對學習這門課程的興趣，因此在線性代數的教學中，一定要注意多引入實際問題.

[1]姜啟源.數學實驗與數學建模[J].數學的實踐與認識，2001，31(5)：613-617.

[2]李尚志.培養學生創新素質的探索——從數學建模到數學實驗[J].大學數學，2003，19(1)：46-50.

[3]同濟大學應用數學系.線性代數及其應用[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]諶躍中.探討線性代數的核心[J].數學理論與應用，2005，25(4)：145-147.

［5］張紅玉.污染線性模型的矩估計［J］.山西大同大學學報：自然科學版，2009，25（5）：13－15.

Applications of Linear Algebra in M athematical M odeling

LIXiu－lan，ZHANG Hong－yu
(School of Mathematics and Computer Science,Shan x i Da t ong University,Da t ong Shan x i，037009)

Teaching of Linear Algebra by author＇s experience，described the introduction of linear algebra teaching the importance of practical application，and specifically example of linear algebra is given in the application ofmathematicalmodeling.

linear algebra；mathematicalmodeling；application

O151.2

A

〔編輯 高?！?/p>

1674-0874(2010)02-0003-02

2009-12-15

山西省教育科學“十一五”規劃課題項目 [GH-09090]；我國高校應用型人才培養模式研究數學類子課題 [FIB-070335-A2-22]；山西大同大學青年科學研究項目[2009Q2]

李秀蘭(1966-)，女，山西大同人，碩士，教授，研究方向：圖論.