思維品質(zhì)數(shù)字化的個(gè)案研究

田果萍，崔克忍

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西臨汾 041004）

思維品質(zhì)數(shù)字化的個(gè)案研究

田果萍，崔克忍

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西臨汾 041004）

對思維能力的訓(xùn)練突出地體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，思維品質(zhì)是衡量個(gè)體思維能力的重要指標(biāo)，文章在思維品質(zhì)數(shù)字化理論模式的構(gòu)建之上，旨在通過例子展示出思維品質(zhì)數(shù)字化的具體的操作流程.

思維品質(zhì) 數(shù)字化 流程

思維是“智力與能力的核心”[1]，“思維品質(zhì)是思維能力強(qiáng)弱的反映”，“培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展智力、能力的突破口，是提高教育質(zhì)量的好途徑”[2]，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)，“數(shù)學(xué)思維的價(jià)值在于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，這是大家公認(rèn)的”[3].而以往關(guān)于思維品質(zhì)方面的文獻(xiàn)，大多或側(cè)重于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的培養(yǎng)策略的視閾，“你想要講的，盡量啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生去思索，用學(xué)生的口說出你想要說的話，有時(shí)學(xué)生也能說出教師料想不到的新見解。通過師生之間的信息交換，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到培養(yǎng)”[4]、“數(shù)學(xué)教材中有著豐富的培養(yǎng)學(xué)生思維能力的素材和方法，選擇其中的有關(guān)例題、習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析其特點(diǎn)，然后精心設(shè)置教學(xué)程序，展現(xiàn)結(jié)論形成的過程，讓學(xué)生充分參與，積極探索，他們的抽象以至歸納等思維能力即可得以較好的發(fā)展”[5]；或者對思維品質(zhì)的教育意義討論的居多，如“思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)素質(zhì)不可或缺的內(nèi)容”[6]，而基于從數(shù)學(xué)函數(shù)的觀點(diǎn)來量化思維品質(zhì)，除了孟凱韜教授之外，未見他人有相關(guān)的研究，本文基于作者對思維品質(zhì)數(shù)字化理論模式構(gòu)建[7]的基礎(chǔ)上，旨在通過具體的例子展示出思維品質(zhì)數(shù)字化的操作流程.

1 解題過程及其思維網(wǎng)絡(luò)圖

下面以高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的一道題為例來說明具體操作步驟.

題目 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng)；數(shù)列｛bn｝中，b1＝1，點(diǎn)p（bn， bn）在直線x-y＋2＝0上，其中n∈N*.

（1）求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Bn，試比較1／B1＋1／B2＋…＋1／Bn與2的大小；

（3）設(shè)Tn＝b1／a1＋b2／a2＋bn／an，若Tn?c，c∈Z，求c的最小值.

某同學(xué)的解題步驟是：

（1）由題意可得an＝（Sn＋2）／2，從而

Sn＝2an－2.

當(dāng)n＝1時(shí)，

a1＝（S1＋2）／2? a1＝2，

當(dāng)n≠1時(shí)，

an＝Sn－Sn-1＝2an－2－（2an-1－2）＝2an－2an-1，

所以，an＝2an-1，從而an／an－1＝2.故數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列且

an＝a1·qn－1＝2n.

數(shù)列｛bn｝中，由題意可得

bn－bn+1＋2＝0，

即

bn+1－bn＝2，

所以｛bn｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，且

故Tn＜3（n→∞）.

又c∈Z，故cmin＝3.

其思維網(wǎng)絡(luò)圖如圖1.

圖1 思維網(wǎng)絡(luò)圖

圖1中各元素所代表的意義：

①an是Sn與2的等差中項(xiàng)；

②2an＝Sn+2；

③Sn＝2an-2；

④當(dāng)n＝1時(shí)a1＝2；

⑤利用an＝Sn-Sn-1；

⑥利用n的意義；

⑦ an＝2an-1；

⑧利用公式an＝a1·qn-1；

⑨an＝2n；

⑩已知p（bn，bn）在直線x-y+2＝0上；

（11）bn-bn+1+2＝0；

（12）bn+1-bn＝2；

（13）已知b1＝1；

（14）利用公式bn＝b1+（n-1）d；

（15）bn＝2n-1；

（16）Bn＝n2；

（17）當(dāng)n＝1時(shí)B1＝1＜2；

（18）當(dāng)n≠1時(shí)；

（19）利用放縮法；

（20）∑1／Bi＜2；

（21）得出結(jié)論；∑1／Bi＜2；

（22）Tn表達(dá)式；

（23）1／2 表達(dá)式①；

（25）對Tn求極限；

（26）Tn＜3；

（27）c∈Z；

（28）得出結(jié)論cmin＝3.

2 各項(xiàng)思維品質(zhì)的值

2.1 思維創(chuàng)新性

根據(jù)提供的信息知t＝15min；

1）為方便起見，不妨以一個(gè)信息加工過程中的終點(diǎn)思維元素來代表一個(gè)思維環(huán)節(jié)，則所有思維環(huán)節(jié)如下：

②③④⑦⑨（11）（12）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）（25）（26）（28）共19個(gè)，所以

2）tc（v）＝19÷15＝1.2667；

3）本題得以正確解決，雖然與每一個(gè)思維環(huán)節(jié)均有關(guān)系，缺一不可，但起關(guān)鍵作用的，能保證思維過程得以流暢的思維環(huán)節(jié)（仍然以每個(gè)思維環(huán)節(jié)的終點(diǎn)元素來表示）有：

②③④⑦⑨（12）（15）（16）（20）（22）（23）（24）（25）（26）（28），

也就是說這些思維環(huán)節(jié)產(chǎn)生了積極的效果，對于中學(xué)生來講我們認(rèn)為凡憑借自己的頭腦所獲得的一切知識都是具有發(fā)現(xiàn)意義的，是具有創(chuàng)造性的.因此，思維鏈中所含創(chuàng)造性思維環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)為15個(gè)，即

ootc（x-f-y）＝15；

4）citc（x-f-y）＝15÷19＝0.7895；

5）eftc（x-f-y）＝15÷192＝0.0416；

6）actc（x－f－y）＝0.5eftc（x－f－y）＋0.5tc（v）＝0.6541.

2.2 思維的新穎度

7）本題得以順利完成既有賴于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，又得力于能夠展開豐富的聯(lián)想.從思維網(wǎng)絡(luò)圖中可以看到有些想法比較新奇，其新奇程度可根據(jù)如下的評分規(guī)則評定出每個(gè)思維環(huán)節(jié)的新穎度.評分規(guī)則如下：

（1）由已知能夠直接導(dǎo)出明顯的關(guān)系得0.1分；

（2）根據(jù)提示語能夠?qū)С稣_的式子得0.2分；

（3）計(jì)算或推導(dǎo)準(zhǔn)確的得分0.3分；

（4）能夠準(zhǔn)確寫出所需公式的得0.4分；

（5）能夠抓住公式各字母的本質(zhì)含義或能夠靈活運(yùn)用公式變形的得0.5分；

lotc（x－f－y）＝19；

（6）為達(dá)到一個(gè)目標(biāo)能夠挖掘出所需隱含條件的得0.6分；

（7）能夠全面討論問題各種情況的得0.7分；

（8）能夠聯(lián)想出已知元素之間關(guān)系的得0.8分；

（9）能夠構(gòu)造出一個(gè)鋪墊的得0.9分；

（10）能夠聯(lián)想出一個(gè)恰當(dāng)且簡便方法的得1分.

按照上面的評分規(guī)則，每個(gè)思維環(huán)節(jié)的新穎度分別為

0.2 ，0.3 ，0.5，0.8，0.6，0.1，0.3，0.6，0.3，0.7，0.7，1，0.3，0.3，1，0.3，1，0.3，0.3，

所以其新穎度

2.3 思維的廣度

圖2 系統(tǒng)套圖

9）根據(jù)該同學(xué)的思維視野所涉及的范圍，可以構(gòu)造一個(gè)如圖所示的系統(tǒng)套：圖2從圖中可以看到該系統(tǒng)套的相關(guān)p＝7各級跨度依次為1，2，2，4，9，9，9，從而其跨度積

令m＝2，n＝5得思維廣度為

2.4 思維的靈活度

10）以各個(gè)思維元素為橫坐標(biāo)，各個(gè)元素所屬的級為總坐標(biāo)建立如下直角坐標(biāo)系：圖3.

圖3 ：系統(tǒng)套的直角坐標(biāo)系

由上圖及拐點(diǎn)定義可知思維鏈的拐點(diǎn)；

11）令m＝3，n＝2得到該同學(xué)的思維靈活性

2.5 思維的深刻性

12）另外，從圖3中還可以看到：

其中D1為“等差中項(xiàng)”與“點(diǎn)與直線的關(guān)系”的相對距離.

其中D2為“等差中項(xiàng)”與“等比數(shù)列概念”的相對距離.

從而該同學(xué)的思維深度為

3 思維品質(zhì)函數(shù)的值

13）最后，令

所以，思維品質(zhì)向量為

（5，0.5511，0.6542，0.3989，0.6541），

將其以矩陣形式輸入后，應(yīng)用[4]中的計(jì)算程序即可得到該同學(xué)相應(yīng)的思維品質(zhì)函數(shù)值為

[1]林崇德.學(xué)習(xí)與發(fā)展-中小學(xué)心理能力發(fā)展與培養(yǎng)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1999.

[2]胡衛(wèi)平.科學(xué)思維培育學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[3]張奠宙,李士琦,李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]郝秀清.關(guān)于目前中專數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及改革設(shè)想[J].北京師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001,17(2):43-44.

[5]王苗珍,楊清華.探討例題習(xí)題規(guī)律[J].重視思維能力培養(yǎng)[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001,17(2):55-56.

[6]張計(jì)珍.數(shù)學(xué)教學(xué)中素質(zhì)的培養(yǎng)[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004,20(2):83-84.

[7]田果萍.思維品質(zhì)數(shù)字化的理論建構(gòu)[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,24(2):21-23.

An Examp le for Digitalization of Thinking Quality

TIAN Guo－ping，CUIKe－ren
（1.School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009；2.School ofMathematics and Computer Science，ShanxiNormal University，Linfen Shanxi，041004）

Thinking is trained mostly in themathematics instruction.Thinking quality is treated as one of its value item.Basing on its theoreticalmodel，and by a concrete example，the operation process of the digitalization of thinking quality is displayed.

thinking quality；digitalization；process

G420

A

〔編輯 高海〕

1674－0874（2010）02－0018－04

2009－11－03

田果萍（1975－），女，山西朔州人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.