二階離散邊值問題的多重解

覃 舟,劉進生

(太原理工大學 理學院,太原 030024)

非線性差分方程來源于科學研究的多個領域,尤其在計算數學、控制論、動力系統(tǒng)及經濟學等方面受到了廣泛的關注。因此,許多學者利用非線性泛函分析的方法研究了非線性離散邊值問題解的存在性與多重性。

蔡曉春、周夢在文獻[1]中研究了二階離散邊值問題

解的多重性。他們運用臨界點理論中著名的山路引理,在一定的假設條件下證明了問題(1)至少有兩個解。

本文也研究問題(1)的多解性,我們利用一個臨界點存在性定理,結合上下解方法,最終證明了該問題至少有四個解。

全文假設R1和Z分別為實數集和整數集,對任意a,b∈Z,a＜b,記[a,b]∶={a,a+1,…,b}。Δ是向前差分算子,即

δ＞0,(-1)δ=-1,A0,B0為常數。{p n},{qn}是兩個實數列,對任意的(n,z)∈Z×R1,f：Z×R1→R1關于第二個變量連續(xù)。

1 預備知識

記H=Rk,則H是k維Hilbert空間。H 上的內積為由它誘導的范數為

在 H上,對?r＞1,我們也使用范數

因為H是有限維Hilbert空間,所以范數是等價的,于是,當 δ＞0,β＞1時,分別存在正常數c0,c和d 0,d,使得

在H中定義錐

易知P是一個正規(guī)體錐。其內部為

并且在H中定義半序關系為u≤v?v-u∈P,同時記u＜v?u≤v且u≠v;u?v?v-u∈P?.

設算子B：H→H,如果對?u,v∈H,u≤v蘊涵Bu≤Bv,則稱B為增算子。

對于問題(1),若存在v∈H使得

則稱v是問題(1)的一個上解;而當其反向的不等式成立時,稱v是問題(1)的一個下解。

在H上定義泛函

從而J的臨界點等價于問題(1)的解。易知

其中

因此,若記

則算子B ：H →H,并且J′(u)=u-Bu.

下列引理是本文主要結果的理論依據。

引理[2]設 H 是 Hilbert空間,f：H →R1是C1泛函,滿足 P.S.條件 ,f′(u)可以表為 f′(u)=u-Bu的形式。設D1和D2是H中的開凸集,滿足條件

如果存在一條道路h：[0,1]→H,使得

并且

2 主要結果

定理 如果A0=B0=0及下列條件滿足：

(H 1) 問題(1)存在上、下解 x,y,并且 x?y;

(H 2) B：H→H 是增算子;

(H3) 存在 M＞0及β＞δ+1,使得|z|≥M時,μzf(t,z)≤F(t,z)＜0,其中 μ=1/β.則問題(1)至少存在四個解。

證明 定義

顯然D1,D2是 H中的開凸集。因為 x,y是問題(1)的上、下解,所以 x?Bx,By?y.因為 x?y,所以D1∩D 2={u∈H,x?u?y}≠?。設 u∈?D1,那么u≤y,因為 B：H→H 是增算子,所以Bu≤By?y,即B(?D 1)?D1,同理 B(?D2)?D 2。

所以

只要R充分大。

J在H上滿足P.S.條件的證明見[1]。

所以 φ(t)＞0,而 φ(t)在[0,1]上連續(xù),所以存在常數c1＞0使得 φ(t)≥c1＞0,?t∈[0,1].所以

由假設條件(H3)可知存在常數a1,a2＞0,β＞δ+1,使得對?u∈Rk,有

于是

注意到a2,c1＞0,β＞δ+1,所以

從而當R充分大時,

于是泛函J在H上滿足引理的所有假設條件,再由引理1知問題(1)至少存在四個解。

最后我們給出一個滿足定理假設條件的例子。

例 考慮問題

那么u?v,并且

而 ui,v i∈[1,4],i=1,2,3,所以A u?F(u),F(v)?A v,從而

所以v,u分別是問題(2)的上、下解。

任取 x,y∈H,并且 x≤y,注意到

其中I是三階單位矩陣,所以(I+A)(y-x)≥0,即x+A x≤y+A y,又因為 f在R1上是減函數,所以-F(x)≤-F(y),從而 x+A x-F(x)≤y+A y-F(y),即Bx≤By,所以B為增算子。

于是由定理1知問題(2)至少存在四個解。

[1] 蔡曉春,周夢.二階離散邊值問題的臨界點方法[J].湖南大學學報,2006,33(6)：130-132.

[2] Liu Z,Sun J.Invariant sets of descending flow in critical point theory with applications to nonlinear differential equations[J].JDifferential Equations,2001,172(2)：257-299.

[3] 郭志明,庾建設.二階超線性差分方程周期解與次調和解的存在性[J].中國科學(A輯),2003,33：226-235.

[4] Han G,Li F.Multiple solutions of some four-order boundary value problems[J].Nonlinear Anal,2007,66：2591-2603.