兩種常用橡膠本構模型的有限元分析及其仿真

殷 聞, 靳曉雄, 仝 光,2

(1.同濟大學汽車學院,上海201804;2.上海電機學院汽車學院,上海200245)

兩種常用橡膠本構模型的有限元分析及其仿真

殷 聞1, 靳曉雄1, 仝 光1,2

(1.同濟大學汽車學院,上海201804;2.上海電機學院汽車學院,上海200245)

在分析了3類常用橡膠材料本構模型的基礎上,對兩參數Mooney-Rivlin模型和3次Yeoh模型的材料參數進行了數學計算。采用MSC.Marc非線性有限元分析軟件對三維啞鈴狀試樣進行不同載荷水平下的單軸拉伸試驗仿真,驗證模型的適用性,為進一步研究打下理論基礎。

橡膠材料;本構模型;應變能函數;非線性有限元

Abstract：Based on an overview of three rubber constitutive models,we calculate material parameters of the Mooney-Rivlin model and the third order Yeoh model.We carry out simulation of a 3D-dumbbell specimen uniaxial tensile test under different load levels using MSC.Marc,which is software for nonlinear finite element analysis,and analyze the two models'stress.The results verify applicability of these models and provide a theoretical foundation for further research.

Key words:rubber material;constitutive model;strain energy function;nonlinear finite element

橡膠作為一種超彈性材料,表現出與金屬材料截然不同的物理化學性能。其在工程中應用廣泛,主要用來減振、密封等。與金屬材料相比,橡膠材料的應力-應變關系表現出明顯的非線性,使得對橡膠力學行為的描述變得復雜。因此,合理地選擇橡膠材料的本構模型就變得十分重要。本文在概述多種本構模型的基礎上,選擇兩種常用的本構模型,即兩參數Mooney-Rivlin模型和3次Yeoh模型對橡膠材料進行有限元計算,并對結果進行了對比分析。

1 橡膠材料的本構模型概述

常用的橡膠材料本構模型主要分為3類:①基于分子統計學理論的本構模型;②以應變不變量表示的應變能密度函數;③以主伸長率表示的應變能函數。

1.1 基于分子統計學理論的本構模型

分子統計學理論把橡膠彈性體看成是一個由任意取向的柔性長鏈分子通過交聯點組成的分子鏈網絡,分子鏈末端距的徑向分布符合高斯函數。該理論認為,橡膠材料的應力應變行為主要取決于構象熵。研究表明:當沒有外力作用時,分子鏈的構象熵趨于最大值;而當有外力作用時,由于分子鏈內的旋轉運動,使得構象數發生變化,從而導致構象熵也發生變化。這種構象熵的變化使得橡膠材料具有了高彈性[1]。若分子鏈由 n個長為l的鏈節組成,鏈節末端距向量為 r0,若,則可采用 Gauss統計理論來建立本構模型[2]。常用的分子統計學模型包括 Neo-Hookean模型,Kuhn-Grun模型以及 Arruda-Boyce模型。

1.2 以應變不變量表示的應變能密度函數

工程上處理橡膠彈性問題時,大都認為橡膠材料是各項同性的,故橡膠材料的變形可以看成是均勻變形。應變能密度函數可以表示成主伸長率λi,或者是Cauchy-Green應變張量不變量 I1,I2和 I3的函數。又因為彈性體一般近似認為是不可壓縮的,即體積比 J=1,故 I3常取為1.0[3]。應變能密度函數在工程上,特別是超彈性體的變形研究中應用廣泛。其中,Mooney于1951年提出了以 I1,I2為變量的應變能表達式

式中,Cij為材料常數。

當取前兩項時,應變能表達式為式(2)即為兩參數Mooney-Rivlin模型,工程上常用該模型來研究彈性體的變形,它能較好地模擬橡膠材料的中小變形行為。在此基礎上,眾多學者根據自己研究對象的不同,提出了適合各自研究對象的高階 Rivlin應變能函數。其中,Yeoh提出了一個僅以 I1為變量的3次應變能函數:

式中,C10,C20和 C30為與溫度有關的材料參數。

Yeoh模型能描述隨變形而變化的剪切模型的填料橡膠,而且由某種簡單變形實驗數據擬合出的參數可以用來預測其他變形方式的力學行為,描述的變形范圍也較寬,一般適合于模擬大變形,但是它不能很好的解釋等雙軸拉伸實驗。

1.3 以主伸長率表示的應變能函數

在有限元分析中,Ogden模型是較常用的以主伸長率表示的應變能函數。其應變能函數的表達式為

式中,μn,αn為與變形無關的材料常數。

事實上,Ogden模型與 Mooney-Rivlin模型并沒有本質上的不同。在有限元分析中,選擇哪一個模型僅僅在于系數擬合是否方便。

2 本構模型材料參數的數學計算

橡膠本構模型的材料參數對有限元的計算結果影響很大,即使對于同一個本構模型,選擇不同的材料參數也會得到不同的計算結果。以下介紹兩種工程中常用的橡膠本構模型材料參數的計算方法。

2.1 兩參數Mooney-Rivlin模型

橡膠類材料的應力-應變關系可由應變能密度函數得到,其一般形式為[4]

式中,P為一個未知的壓力,反映了橡膠是不可壓縮及對壓力不敏感的事實。

在單軸拉伸試驗狀態下,拉伸比定義為λ22=λ23=1/λ1,并假定 t2=t3=0。則在拉伸過程中,材料體積保持不變,滿足不可壓縮條件。將上述關系式代入相應于t2和t3的式(5),可求得

將式(6)代入t1的表達式,可得單軸拉伸試驗中柯西應力的表達式為

將兩參數Mooney-Rivlin應變能密度函數W代入式(7),有

根據橡膠材料的單軸拉伸試驗測得的形變和應力數據[5],令,則C01,C10為由數據點擬合而成的直線 y=C01x+C10的斜率和截距。由上述方法可以擬合得到兩參數Mooney-Rivlin模型的材料參數 C10和 C01。其值分別為1.2和-0.33。

2.2 3次Yeoh模型

將3次 Yeoh應變能密度函數 W代入式(7),有

令x=2(I1-3),,則式(9)可化為y=C10+C20x+0.75C30x2。

故 C10,C20和0.75C30為拋物線一般式的3個系數。由橡膠材料的形變和應力數據,通過MATLAB編程可以得到 C10=0.897 8,C20=-0.057 8,C30= -0.053 3。

3 基于MSC.Marc的有限元仿真

3.1 模型的幾何特征及約束條件

為了驗證兩種本構模型的適用條件及范圍,本文通過建立一個三維啞鈴狀試樣模型來模擬單軸拉伸的過程。假設模型在拉伸過程中體積保持不變,滿足不可壓縮條件。模型剖面結構尺寸如圖1所示[6]。

圖1 三維啞鈴狀試樣剖面結構尺寸Fig.1 Sectional dimension of dumbbell spcimen

單元類型采用 Herrmann84號單元,單元總數為14 848個。為了保證在有限元分析過程中不會因為單元畸變而導致運算終止,在 Hypermesh中設置單元密度為1.0[7]。將啞鈴狀試樣兩端約1/5的節點除 x方向位移外的其余5個自由度全部約束,并約束一個端面上 x方向的位移,同時在另一個端面上施加固定載荷。

圖2 載荷水平為23 N時兩模型Von Mises應力云圖Fig.2 Von Mises stress contours of the two models

3.2 有限元仿真結果

本文采用MSC.Marc非線性有限元分析軟件對三維啞鈴狀試樣進行不同載荷水平下單軸拉伸試驗的仿真[8]。橡膠材料的本構模型分別選用兩參數Mooney-Rivlin模型和3次 Yeoh模型,材料參數由前文所述的方法得到。在不同載荷水平下,仿真得到對應于兩種本構模型的三維啞鈴狀試樣的Von Mises應力云圖和位移云圖。圖2和圖3所示為載荷水平為23 N時的仿真的結果。

由圖2可見,最大應力值出現在試樣受拉端的截面尺寸變化處,此處雖然做了倒角處理,但由于曲率的變化,仍然會有應力集中的現象存在。

圖4和圖5是各載荷水平下的Von Mises應力曲線和位移曲線。由圖4和圖5可見,當載荷較小時,由于橡膠材料的力學響應較小,相應地,由兩種本構模型計算得到的應力和位移其差值也較小。而隨著載荷的增加,兩種本構模型對應的應力差值和位移差值逐漸變大。當載荷超過23 N時,應力差值和位移差值均超過 10%,且 3次

Yeoh模型的位移比兩參數 Mooney-Rivlin模型的位移增加得更快。

圖3 載荷水平為23 N時兩模型位移云圖Fig.3 Displacement contour of the two models

圖4 不同載荷水平下的 Von Mises應力曲線Fig.4 Von Mises stress curve under different load levels

4 結 語

本文通過數值分析的方法,對兩參數Mooney-Rivlin模型和3次 Yeoh模型的材料參數進行了計算。在不同載荷水平下對三維啞鈴狀試樣進行了單軸拉伸試驗仿真。驗證了兩種模型的適用性。由前述分析可見,相對于3次 Yeoh模型來說,兩參數Mooney-Rivlin模型能更好的模擬橡膠的中小變形行為。

圖5 不同載荷水平下的位移曲線Fig.5 Displacement curve under different load levels

[1]譚江華,羅文波.橡膠材料分子鏈網絡本構模型的研究進展[J].材料導報,2008,22(7):31-34.

[2]朱艷峰,劉 鋒,黃小清,等.橡膠材料的本構模型[J].橡膠工業,2006,53(2):119-125.

[3]李曉芳,楊曉翔.橡膠材料的超彈性本構模型[J].彈性體,2005,15(1):50-58.

[4]Gent A N.Engineering with rubber:how to design rubber components[M].New York:Oxford University Press,1992.

[5]黃建龍,解廣娟,劉正偉.基于 Mooney-Rivlin模型和 Yeoh模型的超彈性橡膠材料有限元分析[J].橡膠工業,2008:55(8):467-471.

[6]何春明,鄭慕僑.測定橡膠Mooney-Rivlin模型常數的一種新方法[J].北京理工大學學報,1997,17(2):142-146.

[7]蔣學武,吳新躍,朱石堅.綜合應用UG,HyperMesh和MSC Marc軟件進行有限元分析[J].計算機輔助工程,2007,16(2):11-14.

[8]Qian Li,Zhao Jiancai,Zhao Bo.Fatigue life prediction of a rubber mount based on test of material properties and finite element analysis[J].Engineering Failure Analysis,2009,16(7):2304-2310.

Finite Element Analysis of Rubber Constitutive Models and Simulation

YIN Wen1, J IN Xiaoxiong1, TON G Guang1,2
(1.Automotive Institute,Tongji University,Shanghai 201804,China;2.School of Automobile,Shanghai Dianji University,Shanghai 200245,China)

TB 115

A

2095-0020(2010)04-0215-04

2010-06-21

殷 聞(1985-),男,碩士生,專業方向為汽車振動與噪聲,E-mail:markyin2008@163.com