有限元在自然電位測井中的應用

孔 峰, 朱泰英

(上海電機學院數理教學部,上海200240)

有限元在自然電位測井中的應用

孔 峰, 朱泰英

(上海電機學院數理教學部,上海200240)

針對自然電位(SP)測井的正問題,研究了有限元方法在求解數值解中的應用。通過構造新函數的方法,將一個不能使用有限元計算的問題化為一個可用標準的有限元方法來求解的問題,并對非齊次項進行了分析,選取了適當的構造函數,提高了計算精度。

自然電位;測井;有限元

Abstract：We study application of finite element method to obtain numerical solution to the problem of spontaneous potential well-logging.By constructing a new function,we convert the problem to a new form that can be solved by the standard finite element method,and analyze an inhomogeneous term and choose an appropriate constructor to improve accuracy.

Key words:spontaneous potential(SP);well-logging;finite element method(FEM)

自然電位(Spontaneous Potential,SP)測井是一種被廣泛應用于現代石油勘探中的測井方法。SP測井所用的測量工具包括一個放在井眼中的可移動電極和一個放在地面泥漿槽中的參考電極。通過變換可移動電極的位置,繪制出井軸上的自然電位曲線圖,不同的電位曲線反映出不同的地層信息。為了制作相應的測井解釋圖表,通常假設地層信息中各子區域的電阻率以及交界面上的電勢跳躍都是已知的。井軸上的自然電位u=u(r,z)滿足在交界面上有跳躍的橢圓邊界值問題。在結合點 A和B處(見圖1),自然電位的跳躍不滿足相容性條件,這就找不到一個分片 H1的解,也就不能直接用標準的有限元方法求解[1]。本文通過構造新函數的方法將由不滿足相容性條件導致的奇性化到了方程的右端,從而可以利用標準的有限元方法求解。

1 問題陳述

1.1 數學模型

通常假設地層是關于井軸和中心平面對稱的[2],在平面(r,z)的區域中考慮問題,其中 R,Z是適當大的數。假設電阻率 Re是分片常數[3](見圖1),則

式中,Ωm為被泥漿充滿的井陘;Ωs為圍巖;Ωx0為侵入帶;Ωt為目標層。

圖1 井軸橫切面示意圖Fig.1 Axial cross-section of the well

因為Ωt由滲透性的砂層組成,泥漿濾液會侵入到這個多孔的區域并改變區域Ωx0的電阻率,所以Ωx0通常叫做侵入帶[4]。

在實際問題中,區域半徑 r→+∞,而一般只用一個有限的R來近似。這種近似的合理性在文獻[5]中得到了證明:當 R-Dx0/2≥Z,R>2Dx0時,近似值和實際值的相對誤差量級為o(10-4)～o(10-8),并且在均勻地層中取R和Z大小相等較合適。

在正問題中,自然電位函數 u(r,z)在Ωi(i=1,2,3,4)中滿足如下的擬調和方程[1]:

在各個邊界和交界面γi(i=1,2,…,5)上滿足如下的邊界條件:

式中,Ei為γi上的電位差。

1.2 問題化簡

作

并作變換[6]

則v滿足一個新的邊界值問題:

新聞傳播學、戲劇影視學兩個學科都具有中國傳媒大學的獨到優勢和特色。首先體現在“綜合”。新聞傳播學起步于廣電，隨著中國整個媒體行業的快速發展，從廣電延伸到電子媒體，再從電子媒體延伸到視聽新媒體、融媒體。戲劇影視學也大致如此，起步是電視藝術，電視藝術后來延伸到視覺藝術，又延伸到影視行業，最后將戲劇和戲曲也納入其中。第二個特點就是“交叉”。新聞傳播學、戲劇與影視學不僅載體、平臺有交叉，藝術、技術也有交叉。特別是這幾年大數據、智能媒體的興起，使它們的覆蓋領域更加寬泛。交叉、融合肯定是未來方向，需要開啟新聞傳播學、戲劇影視學的新視野和新維度，促進學科建設與發展的良性循環。

式中,F1=F2=F5=0;F3=E3-E1-E5;F4=E4-E1-E2-E5。

新問題v在Γ1上滿足一個零邊界條件,在垂直交界面是連續的。如果在點 A和B處的自然電勢差的代數和為0,即

就有 F3=ΔA=0,F4=ΔA+ΔB=0,于是 v≡0。故u0就是初始問題式(2)～式(5)的分片光滑的解[7]。在這種情況下,自然電勢差被稱為是相容的。然而在實際問題中,通常所遇到的問題都是相容性條件不滿足的情形。在這種情況下,不可能得到一個分片 H1的弱解。但是,對于任意的 p(1≤p<2)可以得到一個分片W(1,p)的解[8]。

2 問題分析

在相容性條件不滿足的情況下,正問題沒有一個分片 H1的弱解,不能直接用有限元方法求解。對交界面的點A和B進行分析,邊界結合點處電位差的不相容性導致了正問題的奇性。構造函數

式中,ai,bi(i=1,2,3)為待定系數;θA為A點處的極角;ρA為A點處的極徑。f(ρA)∈C∞且滿足

式中,a0為一個充分小的正常數,它滿足2a0≤min(|OD|,|AB|,|A C|,|A D|)。選取適當的 ai與bi,使 vA滿足

類似地構造 vB。

式中,h(r,z)=L(vA)+L(vB);s為弧長;Gi(s)為電勢跳躍。

Gi(s)是Lipschitz連續并且滿足相容性條件的,從而可以用標準有限元方法求出它的數值解。

3 有限元方法

3.1 數值結果

為了檢驗上面的數值方法,對一種比較經典的情形進行了計算。假設地層是均勻的,并且是無限延伸的,即 Rm=Rx0=Rt=Rs,此時井軸上的電位值具有“精確解”的表達式[6]為

對于H=4 m,D0=0.25 m,Dx0=1.3 m,E1=20 mV,E2=130 mV,E3=130 mV,E4=130 mV,E5=10 mV的情形分別用差分法和有限元素法進行計算,并比較結果。圖2是用有限元素法得到的自然電位曲線圖與“精確解”的比較,表1是在不同的方法下得到的自然電位值與“精確值”的比較[9],z為深度。

圖2 自然電位曲線比較圖Fig.2 Spontaneous potential curve

3.2 有限元方法的改進

有限元的一般方程為

式中,S為一個稀疏矩陣;X為每個節點處的電位值所構成的向量;J為每個節點處電位積分值。

網格剖分直接決定著式(22)左端項,不同的網格剖分對應著不同的稀疏矩陣。測井正問題所對應的稀疏矩陣是一個帶狀矩陣[7],不同的網格剖分只影響少數邊界點所對應的元素,不影響矩陣的帶寬和性質,從而不影響計算的精度[10]。而對于式(22)右端積分項,需要構造光滑函數 f(ρA)和 g(ρB),并在較小的直角三角形區域上進行積分,不同的 f(ρA)和 g(ρB)對應著不同的右端項。由稀疏矩陣的性質知,f(ρA)和 g(ρB)的選取直接影響著計算精度。根據式(13),實際計算時只用到 f(ρA)和 g(ρB)的一階和二階導數,故可以用二次或者更高次的多項式來近似表示它們[9]。對于多項式的次數m取不同值時,電位計算值與“精確解”的相對誤差ε結果列于表2中。

由表2可知,當多項式取 m=4時,計算精度最高。

表1 井軸上自然電位值的比較Tab.1 Spontaneous potential on the well axis

表2 m取不同值時電位計算值與“精確解”的相對誤差Tab.2 Relative error for different m

4 結 語

具有跳躍邊界條件的擬調和方程在不同邊界的交界點處,跳躍條件是不相容的,導致此類方程不能直接用有限元方法求解。本文通過構造一個在交界點處具有奇性的新函數將原方程化為一個非齊次方程,從而可利用標準的有限元方法求解。這種將邊界條件的奇性化到方程中去的方法可以推廣到調和方程等其他具有相同性質的方程中去,具有廣泛的適用性。

[1]Li Tatsien,Tan Yongji,Peng Yuejun.Mathematical model and method for spontaneous potential well-logging[J]. European Journal ofApplied Mathematics,1994,5:123-139.

[2]潘克家,譚永基.復雜地層中自然電位測井的高效數值模擬[J].石油地球物理勘探,2009,44(3):371-376.

[3]李 宏.高分辨率間斷有限元方法[J].計算物理,2004,21(4):367-376.

[4]潘克家,譚永基,胡宏伶.非均質地層中自然電位測井的數學模型和數值方法[J].應用數學和力學,2009,30(2):204-212.

[5]李海龍.均勻地層中自然電位測井方程的“精確解”[J].數學年刊,1996,17A(1):87-96.

[6]陳 華,潘克家,譚永基.核磁共振弛豫信號多指數反演新方法[J].測井技術,2009,33(1):37-41.

[7]Li Tatsien.A class of non-local boundary value problems for partial differential equations and its applications in numerical analysis[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1989,28:49-62.

[8]潘克家,譚永基,王才經.自動識別油藏邊界水侵量微分方程反演算法[J].石油學報,2008,29(5):747-751.

[10]王文娟,潘克家,曹俊型,等.基于 Tikhonov正則化的雙頻電磁波電導率成像反演[J].地球物理學報,2009,52(3):750-757.

Application of FEM in Spontaneous Potential Well-logging

KON G Feng, Z HU Taiying
(Department of Mathematics and Physics,Shanghai Dianji University,Shanghai 200240,China)

O 241.82;TD 173

A

2095-0020(2010)04-0232-04

2010-06-13

國家自然科學基金項目(10871130)

孔 峰(1985-),男,助教,專業方向為應用數學,E-mail:kongf@sdju.edu.cn