沙堆模型的原理及其在電力系統中的應用

馬士英，馬新惠，周任軍，張世海

（1.長沙理工大學電氣與信息工程學院，長沙市，410014；2.貴州電力試驗研究院，貴陽市，550002）

0 引言

近幾年，國內外電力系統發生了多次大停電事故。特別是2003年8月14日的美國東北部、中西部和加拿大東部聯合電網發生的大停電，震驚了世界[1-4]。這些事故，引起了國內外許多的學者對大停電的思索和研究，他們期望能找出一種簡單易行的方法來研究電力系統大停電，從而可以進一步對電網大停電的發生時間和規模進行預測。

眾所周知，電力系統正常運行過程中電力元件均要發熱[5]，若是電力系統運行過程中的溫度超過系統正常運行時的溫度，則可能是系統設備中某個或某些元件發生了故障，從而使電力系統過載或過負荷，造成電力系統停運，甚至是電網的崩潰。文獻[6]表明電力系統大停電具有自組織臨界特性。類比電力系統過載或過負荷也可能具有基于自組織臨界理論中的協同學原理所揭示的規律。同時文獻[6]闡述了沙堆模型可以形象地說明基于自組織臨界理論中的協同學原理。電力系統過載或過負荷也可以利用沙堆模型形象地進行模擬仿真，對電力系統過載或過負荷現象進行簡單易懂地定性或理論方面的研究，從而可以提前判斷電力系統過載或過負荷現象，降低電力系統故障發生的機率，保障電力系統正常運行。

沙堆模型可以形象化地說明許多原理，并且能夠簡單地模擬仿真這些原理，因而，在國內外沙堆模型已經被應用在許多行業，近年來更是被越來越多地應用到電力行業中，用來模擬仿真電力系統中的故障分布特性和嚴重程度。例如沙堆模型在文獻[6]，文獻[7]和文獻[8]中的應用，等等。而且，根據沙堆模型的目前發展趨勢可以預測，在不久的將來，沙堆模型也可以應用于模擬仿真電力系統過載或過負荷的分析研究上。

沙堆模型能夠描述電網的一些規律，在電力系統中具有潛在的應用背景。鑒于沙堆模型在電網中的潛在應用，本文主要依據沙堆模型的定義，對沙堆模型進行仿真編程，為今后進一步利用沙堆模型，研究其在電力系統中的應用打下基礎。

1 原理介紹

1.1 自組織理論

自組織理論是20世紀60年代末期開始建立并發展起來的一種系統理論。自組織理論認為：客觀實際存在的系統都是開放系統，即系統與外界環境存在著物質交換、能量和信息交換[6-8]。它的主要研究對象是復雜自組織系統（生命系統、社會系統）的形成和發展機制問題，即在一定條件下，系統是如何自動地由無序走向有序，由低級有序走向高級有序的。自組織現象是指把一個系統內部從無序變為有序，使其大量分子按一定規律運動的現象。這種現象在自然界中是大量存在的，理論研究較多的典型實例有：貝納德（Baynard）流體的對流花紋，貝洛索夫一扎鮑廷斯基（Belousov-Zhabotinsky）化學振蕩花紋與化學波，激光器中的自激振蕩等。協同學（Synergetics）是自組織理論之一。

1.2 協同學原理

協同學亦稱為協同論或協和學，是德國教授哈肯（Hermenn Haken）在1976年創立的。協同學是一門研究遠離平衡態的系統如何通過各子系統之間的自我組織產生時間、空間或功能結構的科學，其主要目的是在現實世界中探求各種不同現象的普遍規律[7]。協同學研究協同系統在外參量的驅動下和在子系統之間的相互作用下，以自組織的方式在宏觀尺度上形成空間、時間或功能有序結構的條件、特點及其演化規律。協同學的主要內容就是用演化方程來研究協同系統的各種非平衡定態和不穩定性（又稱非平衡相變）。協同學認為：世界的統一性不僅在于它們的微觀結構的單一性，而且在宏觀結構的形成中也遵從某些普遍規律[8]。同時哈肯在協同學中描述了臨界點附近的行為，闡述了慢變量支配原則和序參量概念，認為事物的演化受序參量的控制，演化的最終結構和有序程度決定于序參量。

1.3 沙堆模型

沙堆模型是自組織臨界理論中的協同學原理的形象化表述[6，8]，因而沙堆模型原理同樣遵循協同學原理。在沙堆模型中，設置漏斗功能，使每次只流下1粒沙粒。沙粒從漏斗中不斷流到平板上，隨著沙粒數的增多，逐漸在平板上形成了一種略呈圓錐形狀的沙堆，沙堆堆底不是完全對稱的，而且堆體表面有些凸凹不均，坡角也不是一致的。在沙粒流下的初始階段，沙粒數量較少，各處坡角也比較小，這時即使坡角大的某一處發生滑坡，產生沙崩，對其周圍的沙粒產生了影響，增大了某些地方的坡角，但增大后的坡角一般與臨界安定角相差較遠，此時還不至于引起新的沙崩。隨著流下沙粒數量的增加，沙堆各處的坡角逐漸增大，平均坡角開始慢慢地向臨界安定角逼近，若這時發生沙堆滑坡，產生沙崩，情況就和上述狀況不同了。此時，某一處發生滑坡產生小沙崩，就會對周圍的沙粒產生影響，引發規模不同的沙崩。這種情況表明沙堆模型已經開始接近其自組織臨界狀態，即此時的沙堆模型很大程度上可以形象地表示協同學原理。

2 數學建模

應用于模擬仿真的沙堆模型普遍熟知的是奧斯陸模型（Olso-model），而且這類模型具有隨機更新規則，它的臨界坡度通過崩塌動態調整[9]。在模型的最初的一維空間中，沙粒流入1個具有若干個位點的平板上。當這個沙堆的局部邊坡在這個位點和它的鄰近的位點之間被賦予不同的高度，超過1個類似的局部極限時，沙粒通過下滑1個沙粒傾覆到鄰近的位點（從位點i到位點i+1）重新分布。這種做法是由1粒沙通過降低位置i的高度并且通過這個沙粒來增加位置i+1的高度，而且，在這樣的傾覆事件中局部極限被重新選擇。這個程序被反復執行，直到所有的位點都達到穩定狀態，在這個穩定狀態點，1個新的沙粒流入到它的左側。由于這種更新規則的隨機化，在模型中平均臨界坡度實際上自組織到1個固定的值。這個模型根據局部極限可以很容易地用公式表示成zi=hi-hi+1[9]的形式。如果是這樣的話，其規則如下所示：

當 zi＞zc[9]時，

在這個表達公式中，模型的最初的沙堆性質不是直接地顯而易見的，然而，將其延伸到較高維數就會變得簡單易懂。這種模型的較高維空間也可以有效地應用在沙堆上，但在以下的敘述中，附加的維數將要考慮到空氣的特性，這種傾覆規則最簡單可能延伸（方程（1））到二維，同時包括下列的更新規則[9]：

適合于這種二維空間的更新發生在x軸的x=0時，在各自的崩塌后，它的值被增加1個（例如，z0，j→z0，j+1[9]）。在y軸，周期的邊界條件是設定的，而在x軸的邊界條件是公開的。

3 程序實現

設定沙粒流入具有n×n個位點的板上，沙粒數量為l，規定每個位點的沙粒數不能超過4個，若有1個位點的沙粒數超過了4個，則遵循就近原則，沙粒數超過4個的位點將選擇和這個位點最近的位點，將多余的1個沙粒傾覆到它最近的位點，這個程序被反復執行，直到所有的位點都滿足沙粒數不超過4個，達到穩定狀態。沙堆模型的程序流程圖如圖1所示。

圖1 沙堆模型的程序流程圖Fig.1 Program flow chart of sand pile model

根據上面的程序流程圖可以很容易地編寫出沙堆模型的程序，其部分源程序如下所示：

function sp=sandpile（n）

temp=0;

clc

k=-1;

l=0;

xtemp=linspace（k，k，100）;

ytemp=linspace（k，k，100）;

num=n;

%Numbers of grid

Sarray=zeros（num）;

while（l＜500）

xgrid=fix（rand*（num+0））+1;

ygrid=fix（rand*（num+0））+1;

Sarray（xgrid，ygrid）=Sarray（xgrid，ygrid）+1;

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

temp=1;

xtemp（1）=xgrid;

ytemp（1）=ygrid;

while（temp＞0）

xgrid=xtemp（1）

ygrid=ytemp（1）

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

Sarray=Saydear（num，xgrid，ygrid，Sarray）

[xtemp，ytemp，temp]=axidear（xgrid，ygrid，xtemp，ytemp，Sarray，temp）;

end

[xtemp，ytemp]=arrary（xtemp，ytemp，k）;

temp=temp-1;

end

end

l=l+1;

Sarray;

End

…………………………

根據編寫的沙堆模型的程序，可以方便地計算沙堆模型。例如，設定板子上的位點數n=10，沙子的沙粒數量為500粒。執行程序后，可以很容易得到此種情況下沙粒的分布特性，其分布特性簡單易懂地表明了沙堆模型具有基于自組織臨界理論的協同學原理所揭示的規律。給定其他位點數和沙粒數，該沙堆模型同樣具有一致的模擬結果。所以說沙堆模型可以很好地形象地說明協同學原理。

4 結果討論

根據給定的沙堆模型的計算算例，總結出沙粒的分布特性是符合協同學原理的。其相似的分布特征可以在電力系統大停電數據中發現。類比在電力系統過載或過負荷的數據中，具有與沙堆模型相似的分布特征，則沙堆模型所揭示的規律也能夠較好地反映電網的過載或過負荷過程，由此可以根據實際電網過載或過負荷前的有限數據預測電網過載或過負荷的發生時間，為防止由于電力系統過載或過負荷引起的故障提供較充足的處理時間，從而可以減少故障發生的概率。

應當指出，沙堆模型能夠描述電網的一些規律，而本文所做的工作只是初步的，給出了沙堆模型的程序，演算了程序的執行過程，分析了其分布特性，說明了沙堆模型可以形象地闡明協同學原理的自組織過程，為其在電力系統中的應用提供理論基礎。但并沒有過多地和電力系統進行聯系，沙堆模型在電網大停電研究中的應用也是結合國內外近幾年的發展進行定性的闡述，其在電力系統過載或過負荷上的應用，只是提出了一種應用可能性，因此沙堆模型在電力系統中的實用性需要今后做進一步的深入研究。

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