希爾伯特-黃變換在諧波和間諧波檢測中的應用

王海露

(滁州城郊供電公司,安徽滁州239000))

諧波是由于電力系統中某些設備和負荷的非線性特性所造成的波形畸變。如今,隨著大量非線性電力元件的應用,電網中的諧波情況越來越復雜,不僅存在頻率是工頻整數倍的諧波,而且存在大量的非整數倍的間諧波,給電力系統的安全經濟運行帶來了危害,同時間諧波的存在也增加了諧波分析的難度。

現行國家標準《電能質量公用電網諧波》(GB/T 14549-1993)只對諧波規定了限值和測試方法。IEC-61000-2-2將間諧波定義為：在電壓和電流信號的諧波之間存在頻率與基波頻率不成整數倍關系的信號。

電力系統中的諧波檢測方法主要有基于傅里葉變換的諧波檢測、基于瞬時無功功率的諧波檢測、基于小波分析的諧波檢測和基于神經網絡的諧波檢測方法等。基于傅里葉變換的諧波檢測是目前應用最廣泛的一種方法,使用該方法檢測諧波,精度較高,使用方便,但存在頻譜泄漏和柵欄效應[1]。

利用加窗、插值算法可以較好地消除頻譜泄漏和柵欄效應,提高了非整數次諧波的檢測精度,但該算法會導致諧波分辨率降低。小波變換因其良好的時頻局部化特性,可用來分析諧波,通常利用連續小波變換(CWT)系數的幅值來檢測諧波頻率,但由于不同尺度的小波函數在頻率中存在相互干擾,當被檢測信號中含有頻率相近的諧波分量時,無法將頻率相近的諧波分離[2]。

希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform,HHT)是近年來用于分析平穩和非平穩信號的新方法。與上述兩種方法比較,該方法具有如下特點：

(1)通過EMD分解的信號展開,幅度和頻率調制也被清楚地分開,從而打破了固定幅度和固定頻率的傅里葉變換的限制,得到了一個可變幅度和可變頻率的信號描述方法;

(2)EMD分解的基函數是一系列可變幅度和可變頻率的正余弦函數,它是由信號分解中自適應得到的;

(3)基于信號局部特征的分解方法——EMD的引入使得瞬時頻率這一概念具有了實際的物理意義,而且與頻率的經典定義方法(信號相位的導數)相一致,從而可以給出信號頻率變化的精確表達[3]。

1 希爾伯特-黃變換理論方法

對一列時間序列數據先進行經驗模態分解,然后對各個分量做希爾伯特變換的信號處理方法,是由美國國家宇航局的Norden E.Huang于1998年首次提出的,稱之為希爾伯特黃變換(HHT),該方法被認為是近年來對以傅里葉變換為基礎的線性和穩態譜分析的一個重大突破。由于時間序列的信號經過EMD,分解成一組本征模函數,而不是像傅里葉變換把信號分解成正弦或余弦函數,因此,該方法既能對線性穩態信號進行分析,又能對非線性非穩態信號進行分析。

1.1 經驗模態分解(EMD)

經驗模態分解(EMD)方法能把復雜的信號分解成一組穩態和線性的數據序列集,即固有模態函數(intrinsic mode function,IMF)。所謂固有模態函數,必須滿足2個條件：(1)對于一列數據,極值點和過零點數目必須相等或至多相差一點;(2)在任意點,由局部極大點構成的包絡線和局部極小點構成的包絡線的平均值為零。EMD算法的計算步驟敘述如下[4]：

步驟1：計算出信號s(t)所有的局部極值點。

步驟2：求出所有的極大值點構成的上包絡線和所有的極小值點構成的下包絡線,分別記為v 1(t)和v2(t)。

步驟3：記上、下包絡線的均值為m11(t)=[v1(t)+v2(t)]/2,并記信號與上、下包絡線的均值的差為h11(t)=s(t)-m11(t)。

步驟4：判斷h11(t)是否滿足IMF的上述兩條性質。若滿足,則 h11(t)為IMF;否則,記 h11(t)為s(t)重復步驟1～步驟3,直至得到一個IMF,記為c1(t)。

步驟5：記r1(t)=s(t)-c1(t)為新的待分析信號重復步驟1～步驟4,以得到第二個IMF,記為c2(t),此時,余項r2(t)=r1(t)-c2(t)。重復上述步驟,直至得到的余項rn(t)是一個單調信號或者成為僅有一個極點的函數時,分解結束。

如此,最終可得到n個IMF分量,c1(t),c2(t),…cn(t),余項為rn(t),因此,原始信號s(t)可表示為

1.2 希爾伯特(Hilbert)變換

實信號X(t)的Hilbert變換定義為

其反變換為

得到的解析信號為

式中,a(t)為瞬時幅值;θ(t)為相位;其表達式分別為

瞬時頻率的計算公式為

以上的EMD和與之相應的Hilbert變換的分析方法統稱為Hilbert-Huang變換(HHT)。

2 諧波和間諧波檢測步驟

含有諧波和間諧波的信號經EMD后得到一系列IMF,每個IMF為平穩的單頻信號,在此基礎上借助希爾伯特變換進一步得到信號的頻譜圖,因此基于IMF分量進行希爾伯特變換后的結果能夠反映真實的物理過程,從而實現諧波和間諧波的檢測。其檢測步驟為：(1)對含有諧波的信號進行EMD分解,得到一組平穩的單頻IMF分量;(2)對每個IMF分量進行希爾伯特(Hilbert)變換,得到解析信號;(3)利用式(5)～(7)得到每個模態分量的瞬時幅值和瞬時頻率,實現對諧波和間諧波的檢測。

3 算例仿真結果與分析

3.1 算例1

參照文獻[5]的算例,設仿真諧波信號s(t)=2sin50πt+sin100πt+sin170πt+sin400πt,采樣頻率為6 400 Hz(每個工頻周期采樣128個點)。信號中含有基波信號和三個頻率為25 Hz、85 Hz和200 Hz的諧波信號,其原始信號見圖1。

現在對上面的信號進行EMD分解,得到4個單頻的IMF 分量,c1、c2、c3和c4,以及余量r,見圖2。從圖2中,我們可以看出含有諧波的信號被分解成一組平穩的信號,c1分量的頻率最高,而c4分量的頻率最低,故而幾個頻率的信號經過EMD分解可以將其分解開來。

圖2 EMD分解結果(算例1)

現對每個IMF分量做Hilbert變換,求其各IMF分量的幅值和頻率,如圖3、圖4所示。HHT變換的結果見表1所示。

圖3 IMF分量的幅值(算例1)

圖4 IMF分量的頻率(算例1)

表1 信號經HHT變換的結果

從圖3、圖4可知,EMD可以將信號準確地分解為一組穩定的單頻分量,各分量就是信號中的各諧波成分,以及基波成分。從表1可以看出,HH T方法可以檢測出諧波、間諧波的幅值和頻率,準確度比較高。

3.2 算例2

設一仿真諧波信號為

采樣頻率為6 400 Hz(每個工頻周期采樣128個點)。信號中含有基波信號和三個頻率為100 Hz、250 Hz和400 Hz的諧波信號,并且三個諧波信號的發生時間不相同,其原始信號見圖5。對信號進行EMD分解,得到IMF分量,見圖6所示。

圖5 原始信號(算例2)

圖6 EMD分解結果(算例2)

從圖6中,我們可以看出,c1包含2次、5次和8次諧波,c2是基波。在此基礎上求出瞬時幅值和頻率,如圖7、圖8所示。

圖7 IMF分量的幅值(算例2)

圖8 IMF分量的頻率(算例2)

從圖7中,可以看出各次諧波的幅值、基波的幅值和原信號一致。從圖8中,可以得知c1分量的頻率包含了100 Hz、250 Hz和400 Hz,而且可以清晰地看出這三個頻率的分界處(對應于0.2 s和0.3 s)。顯然,HHT變換可以準確地檢測出諧波發生、終止和突變的時刻。

4 總 結

在上面的仿真中,我們可以發現在端點處波形有略不規則現象,瞬時頻率和幅值也會受到影響,這是由于在EMD分解過程中,首先要找出信號的極大值和極小值,并分別用兩條包絡線把極值連接起來,這時左右兩個端點的包絡線會出現所謂“端點飛翼”,造成分解結果發生偏差。端點問題正是EMD分解所存在的問題,也是大家所研究的重點,待解決的難題。

希爾伯特-黃變換方法用于非平穩、突變的諧波檢測和分析,能夠方便準確的通過EMD分解得到固有模態分量IMF,并測定各個諧波的瞬時頻率和幅值,以及諧波發生、終止時刻,以及諧波突變時刻,與現有方法相比更為靈活、準確和有效,是電力系統諧波分析的一種新的有力工具。

[1] 張伏生,耿中行,葛耀中.電力系統諧波分析的高精度FFT算法[J].中國電機工程學報,1999,19(3)：63-66.

[2] 薛 蕙,楊仁剛.基于連續小波變換的非整數次諧波測量方法[J].電力系統自動化,2003,27(5)：49-53.

[3] 李天云,趙 妍,李 楠,等.基于 HHT的電能質量檢測新方法[J].中國電機工程學報,2005,25(17)：52-56.

[4] 劉霖雯,劉 超,江成順.EMD新算法及其應用[J].系統仿真學報,2007,19(2)：446-447,464.

[5] 趙成勇,何明鋒.基于復小波變換相位信息的諧波檢測算法[J].中國電機工程學報,2005,25(1)：38-42.