Jordan標準形在一般數域上的推廣

萬冰蓉

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

Jordan標準形在一般數域上的推廣

萬冰蓉

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

設A是數域P上的一個矩陣.通過定義A的廣義初等因子與廣義Jordan塊，能證明由A的所有廣義初等因子的廣義Jordan塊組成的準對角陣與A相似，它是矩陣的Jordan標準形在一般數域上的一種推廣形式，而且在一些情況下比有理標準形形式更簡單.

初等因子，Jordan塊，Jordan標準形，有理標準形

1 引言

矩陣的相似是矩陣之間的一種非常重要的等價關系.尤其是矩陣在相似關系下的簡單形式對于很多問題的討論都起到了關鍵性的作用.在此，我們將矩陣在相似關系下的各種簡單形式統稱為矩陣的相似標準形.眾所周知，復數域上矩陣的都相似于它的Jordan標準形；任意一個數域P上的矩陣都相似于它的有理標準形.可以看出，當P取復數域時，數域P上的矩陣的有理標準形并不是它的Jordan標準形.這說明任意一個數域P上的矩陣A很可能還存在一種形式較簡單的相似標準形，而且Jordan標準形恰是這種標準形在復數域中的具體體現.本文通過定義A的廣義初等因子與廣義Jordan塊，能證明由A的所有廣義初等因子的廣義Jordan塊組成的準對角陣與A相似，它是矩陣的Jordan標準形在一般數域上的一種推廣形式，而且一般情況下比有理標準形形式更簡單,我們稱之為廣義Jordan標準形.

文中如果沒有特殊說明，字母P均表示任意一個數域.

2 廣義初等因子與廣義Jordan塊

首先我們對數域P上的矩陣A來定義它的廣義初等因子.

定義1設A是數域P上的一個矩陣，把矩陣A的每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的不可約因式方冪的乘積，所有這些不可約因式方冪（相同的按出現的次數計算）稱為矩陣A的廣義初等因子.

顯然，在復數域上，廣義初等因子就是初等因子.

為了定義廣義Jordan塊，我們先介紹[1]中對于多項式的伴侶陣的定義：

定義2[1]對數域P上的一個多項式d(λ)=λn+a1λn-1+…+an(n≥1)，稱矩陣

因為|λE-D|=d(λ)，并且|λE-D|中(1,n)元的余子式為1，從而易知D的不變因子為1,…,1,d(λ)，其中包含n-1個1.顯然，d(λ)=λ-λ0的伴侶陣為一階方陣(λ0).

下面我們對于廣義初等因子來定義它的廣義Jordan塊.

定義3設d(λ)是數域P上的一個不可約多項式，?(d(λ))=m，D為d(λ)的伴侶陣.對于不可約因式d(λ)的方冪dr(λ)，稱分塊陣

為dr(λ)的廣義Jordan塊，其中E1m表示(1,m)元為1，其余元為0的基本陣.

3 廣義Jordan標準形

定義4設A是數域P上的一個矩陣，由A的所有廣義初等因子的廣義Jordan塊組成的準對角陣稱為A的廣義Jordan標準形.

顯然，復數域上矩陣的廣義Jordan標準形即為它的Jordan標準形.因此廣義Jordan標準形是Jordan標準形在一般數域的一個推廣，而且一般情況下比有理標準形的形式簡單.

4 主要結論及其證明

為了證明我們的主要定理，首先不加證明的介紹[1]中的一個引理：

定理 數域P上任意一個矩陣都與它的一個廣義Jordan標準形相似，這個廣義Jordan標準形除去其中廣義Jordan塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的.

設它們的廣義Jordan塊依次為Bp1+1,1,…,Bs1,…,Bpt-1+1,t-1,…,Bs,t-1,B1t,…,Bst，則A的廣義Jordan標準形為

對于上述的每一個廣義Jordan塊Bij，注意到它是rijmj階方陣，所以根據引理1有λE-Bij等價于矩陣

其中主對角線上有rijmj-1個1.故λE-B等價于

其中主對角線上有s-pt-1個1，且主對角線上元素所含dt(λ)dt-1(λ)的方冪是按遞升冪次排列的.反復地應用引理2，最終能使λE-B等價于

如果有另一個A的廣義Jordan標準形B'與A相似，那么B'與A有相同的不變因子，從而B'與B有相同的廣義初等因子，因此B'與B除了其中廣義Jordan塊的排列次序外是相同的，即A的廣義Jordan標準形被矩陣A唯一決定.

〔1〕Michacl Artin.Algebra[M].Englewood Cliffs:Prentice-Hall,1991.

〔2〕聶靈沼,丁石孫.代數學引論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

〔3〕北京大學數學系.高等代數(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.9.

〔4〕張賢科,許甫華.高等代數學[M].北京：清華大學出版社，1998.

O15

A

1673-260X（2010）06-0005-05

南昌工程學院青年基金項目（2008KJ025）