非保守集中力作用下飽和多孔懸臂梁的非線性彎曲

楊 驍, 周冬華

(上海大學土木工程系,上海 200072)

非保守集中力作用下飽和多孔懸臂梁的非線性彎曲

楊 驍, 周冬華

(上海大學土木工程系,上海 200072)

基于孔隙流體僅沿梁軸向運動的微觀不可壓飽和多孔彈性梁大撓度彎曲數學模型,利用 Galerkin截斷法,研究固定端不可滲透、自由度可滲透的飽和多孔懸臂彈性梁在自由端處承受突加非保守集中力作用下的擬靜態非線性彎曲問題,給出了梁彎曲時撓度、彎矩等隨時間的響應以及沿梁軸線的分布.數值結果表明:當載荷較小時,非保守集中力、保守集中力以及線性小撓度理論的結果相差很小;當載荷較大時,非線性大撓度理論的結果小于相應線性小撓度理論的結果,非保守力的結果大于相應保守力的結果,且這種差異隨著載荷的增大而增大.同時,在集中載荷突加于梁上時,多孔彈性梁骨架最初不變形,但隨著時間的增加,梁的撓度逐漸增大,并最終趨于穩態值,此時多孔梁骨架承擔全部的外載荷.

多孔介質理論;飽和多孔彈性梁;大撓度;非保守力;Galerkin截斷法

Abstract:Assumption made in themathematicalmodel for large deflection of microscopic incompressible saturated poroelastic beam is that fluid in porescan only flow in the direction of a deformed axis.Based on thismodel,nonlinear quasi-static bending of a saturated poroelastic cantilever beam with fixed end impermeable and free end permeable,with a suddenly applied nonconservative concentrated transverse load at its free end,is investigated with the Galerkin truncation method.The curves of deflections and bending moments of the beam skeleton are shown w ith respect to time and the beam axis.Numerical results show that,for small loads,there is little difference between results for the nonconservative and conservative concentrated load and between large nonlinear and small linear deflection models.For large loads,resultsof large nonlinear deflection model are smaller than those of small linear deflection model.Results for the nonconservative loads are larger than those for conservative loads.The difference increases with load.Further,when a concentrated load is suddenly applied,deformation of the beam skeleton does not instantly occur.Deflection of the poroelastic beam increases and finally converges to a stationary state in which the poroelastic beam skeleton takes the entire external load.

Key words:theory of porousmedia;saturated poroelastic beam;large deflection;nonconservative load;Galerkin truncation method

飽和多孔介質是指連通孔隙中充滿液體的多孔連通介質,其結構力學行為的研究在流-固耦合相互作用理論中具有重要的學術價值和廣泛的應用背景.這方面的研究早期起源于生物力學中的若干問題[1-2].目前,相關研究成果已應用于各種工程領域中,如建筑行業和傳熱傳質工程等.基于 Biot理論,Schanz等[3]研究了飽和多孔柱的波動問題,得到了時間區域上的精確解;Rémond等[4]研究了飽和多孔空心圓柱在軸向循環載荷作用下的穩態響應;Leclaire等[5]建立了一個新的多孔彈性板模型,研究了孔隙度、滲透率等對多孔板共振頻率的影響.基于Nunziato-Cowin模型,B?rsan[6]建立了多孔彈性殼的非線性模型,證明了線性化模型初邊值問題解的唯一性.

對于各向同性可壓飽和多孔彈性梁,Nowinski等[7]、Zhang等[8]研究發現,梁橫向的孔隙流體壓力梯度通常大于其軸向的壓力梯度.于是,一般情形下可忽略孔隙流體的軸向運動.然而,在自然和工程應用中存在一類多孔材料,其微觀結構使得流體以軸向運動為主,可忽略其橫向的運動,如植物的根莖、傳熱管道等.基于 Biot理論,Li等[9-11]建立了分析飽和多孔彈性梁、桿變形的線性和非線性數學模型,詳細研究了飽和多孔彈性梁的靜、動態力學行為.實際上,一些情形下可將固相骨架和孔隙流體視為微觀不可壓材料.對此類問題,楊驍等[12]基于飽和多孔介質理論的三維控制方程,建立了微觀不可壓飽和多孔梁、桿線性小變形的數學模型,并利用 Lap lace變換數值研究了飽和多孔懸臂梁的擬靜態和動態彎曲.Yang等[13]建立了不可壓飽和多孔彈性梁非線性彎曲的數學模型,并分析了飽和多孔懸臂梁在端部保守集中載荷作用下的非線性響應.基于此模型,楊驍和李麗[14-15]研究了飽和多孔簡支彈性梁在均布載荷作用下的靜、動力非線性彎曲.

基于飽和多孔彈性梁非線性彎曲數學模型,本工作研究了飽和多孔懸臂梁在始終垂直于梁軸線自由端集中力作用下的非線性擬靜態彎曲問題.首先,給出了以橫截面轉角θS為基本未知量的初邊值問題;其次,利用 Galerkin截斷法和常微分方程的 Runge-Kutta數值法,得到了不同載荷集度下梁骨架轉角、彎矩等隨時間的響應.數值結果表明,與小撓度線性理論的結果相比,大撓度非線性理論的結果偏小,非保守力的結果大于相應保守力的結果,且大撓度理論結果趨于其穩態值的時間明顯小于相應的小撓度理論結果.另外,飽和多孔彈性梁的撓度呈現黏性蠕變特征,且其彎矩仍隨時間的增加而增大.這些結果有助于揭示相關工程結構的力學行為.

1 數學模型

設長為 L、慣性矩為 I的流體飽和多孔彈性懸臂梁由不相溶的微觀不可壓流相 RF和微觀不可壓多孔彈性固相骨架 RS組成 (見圖1),其孔隙度為 φ,側表面不透水.

圖1 自由端承受非保守集中載荷的多孔懸臂梁Fig.1 Cantilever poroelastic beam subjected to a nonconservative concentrated load at the free end

由于梁骨架微觀結構的特殊性,假定多孔彈性梁中的孔隙流體僅能沿梁的軸向方向運動,且固定端不可滲透,自由端可滲透.若彈性梁骨架 RS關于其橫截面橫觀各向同性,t=0時刻在自由端處承受突加集中載荷 P的作用,且載荷 P始終垂直于梁的軸線.根據飽和多孔彈性梁非線性彎曲的一般數學模型,可得如下無量綱的初邊值問題[13-15]:

式中,uS(s,t)和 wS(s,t)分別為梁骨架軸線的無量綱水平位移和撓度,θS(s,t)為梁骨架橫截面的轉角,N(s,t)為無量綱軸力,Mp(s,t)為無量綱的孔隙流體壓力等效力偶,而 s為無量綱的軸線弧長[13].

初邊值問題(1)～(6)可進一步簡化為

式中 ,θ1S=θS(1,t).

確定轉角θS(s,t)后,N(s,t),Mp(s,t),uS(s,t)和 wS(s,t)可分別由下式確定:

2 Galerk in截斷法和數值結果

顯然,求解初邊值問題 (7)的精確解是相當困難的.為此,下面利用 Galerkin截斷法和 Runge-Kutta法數值求初邊值問題 (7)的近似解.作近似

顯然,θS(s,t)滿足初邊值問題 (7)中的邊界條件.將式 (10)代人式 (7)的方程中,利用 Galerkin截斷法可得

式中,

利用四階 Runge-Kutta法,可容易數值求解初值問題 (12).這樣,由式 (8)和 (9)可數值得到多孔彈性懸臂梁骨架的撓度、水平位移、彎矩及其孔隙流體壓力等效力偶等.

當集中力 P較小時,即在小撓度情形下,始終垂直于梁軸線的非保守集中力導致的飽和多孔梁的彎曲,應接近于保守的始終豎直向下集中力導致的多孔彈性梁的彎曲.這一性質在一定程度上提供了校驗近似表達式 (10)的有效性方法,而豎直集中力作用下飽和多孔彈性梁彎曲的精確解可由 Lap lace變換求得[15].表 1給出了當載荷參數 P=0.1時,在不同時刻 t,多孔懸臂梁自由端處撓度 wS的精確解和近似解,其中“ES”和“AS”分別表示精確解和本工作的近似解.可見,在小撓度范圍內,近似表達式 (10)可給出滿意的結果.

圖2示出了不同載荷 P下,飽和多孔懸臂彈性梁自由端 (即 s=1)處無量綱撓度 wS隨無量綱時間t的變化曲線.圖中可見,撓度隨時間 t單調增大,并且當載荷參數 P較小,即當 P<1時,大撓度和小撓度理論,以及始終豎直向下保守集中力引起的自由端撓度和始終垂直于梁軸線的非保守集中力引起的自由端撓度沒有明顯的差別.然而,隨著載荷 P的增加,相關結果相差越來越大,當 P=5時,多孔懸臂梁自由端處保守力情形下,大撓度理論的穩態撓度只有非保守力情形下穩態撓度的 82.3%,并且此撓度只是小撓度理論穩態撓度的 48.1%.當載荷 P較大時,線性小撓度模型的自由端處撓度將大于 1,這在幾何上是不可能的.同時,始終垂直于梁軸線的非保守集中力引起的自由端撓度大于豎直向下保守集中力引起的自由端撓度,并且二者差異隨載荷 P的增大而增大.圖3給出了當 P=3時,飽和多孔懸臂梁在不同時刻 t的撓曲線.

表 1 近似解與精確解的比較Table 1 Compar ison between the approximate and analytical solutions

圖2 不同載荷 P下,自由端撓度 wS隨時間 t的變化Fig.2 Deflections wSvs.the time t at the free end for d ifferent load P

圖3 當 P=3時,不同時刻 t的撓曲線 wS分布Fig.3 Deflection curves wSat d ifferent time t when P=3

圖4 不同載荷 P下,固定端處彎矩 mSE隨時間 t的變化Fig.4 Bend ing m om en ts mSEvs.the tim e t at the f ixed end for d ifferent load P

圖5 當 P=3時,不同時刻 t彎矩 mSE沿軸線 s的分布Fig.5 D istr ibution s of the bend ing m om en ts mSEalong the beam axis s at d ifferent time t when P=3

3 結 束 語

限制飽和多孔彈性梁中孔隙流體僅沿變形后梁軸線方向擴散,本工作研究了固定端不可滲透、自由端可滲透的飽和多孔懸臂彈性梁在自由端非保守集中力作用下的彎曲問題.利用 Galerkin截斷法,將問題轉化為以橫截面轉角為基本未知量的初值問題,并通過 Runge-Kutta法進行數值計算,得到了飽和多孔懸臂彈性梁在不同載荷作用下的撓度、彎矩等隨時間的響應.通過比較多孔彈性梁在載荷較小時的研究結果與線性小撓度精確解,說明了本研究Galerkin截斷近似方法的有效性.數值結果表明:相比于保守力作用下飽和多孔懸臂梁的彎曲,非保守集中力將引起較大的撓度和彎矩;多孔彈性梁的撓度呈現黏性蠕變特征,且其彎矩仍隨時間的增加而增大.這些結果有助于揭示相關工程結構的力學行為.

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(編輯:劉志強)

Nonlinear Bend ing of Saturated Poroelastic Cantilever Beam w ith Nonconservative Concentrated L oad

YANG Xiao, ZHOU Dong-hua
(Department of Civil Engineering,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China)

O 357.3

A

1007-2861(2010)03-0221-05

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.03.001

2009-06-08

上海市自然科學基金資助項目 (06ZR14037);國家自然科學基金資助項目(10872124)

楊 驍 (1965～),男,教授,博士生導師,博士,研究方向為多孔介質理論、流固耦合.E-mail:xyang@shu.edu.cn