內積空間上向量值 Padé-型逼近表的塊狀結構特征

蘇 瑞, 潘寶珍

(上海大學 理學院,上海 200444)

內積空間上向量值 Padé-型逼近表的塊狀結構特征

蘇 瑞, 潘寶珍

(上海大學 理學院,上海 200444)

從多項式空間到向量空間引入一種廣義線性泛函,在內積空間上定義和構造向量值 Padé-型逼近.借助向量值 Padé-型逼近的誤差公式,給出關于線性泛函的正交多項式的定義,同時推導出向量值 Padé-型逼近表的塊狀結構特征.利用 Padé-型逼近表的這一特征,可以減少向量值 Padé-型逼近的計算量.最后,通過數值實例說明該方法的有效性.

向量值;Padé-型逼近;正交多項式;塊狀結構特征

Abstract:A vector-valued Padé-type approximation is defined in the inner space by introducing a generalized linear functional from a polynomial space to a vector space.With the error formula for vectorvalued Padé-type app roximation,the orthogonal polynomial w ith respect to a generalized linear functional is defined.The block structure of Padé-type table is derived. The structure can be used to reduce computation of Padé-type approximations.An example is given to illustrate effectivenessof themethod.

Key words:vector-valued;Padé-type approximation;orthogonal polynomial;block structure

Padé-型逼近在理論物理、系統控制理論、模型簡化和積分方程領域都有著廣泛的應用.從 1979年法國數學家 Brezinski[1]研究了數量 Padé-型逼近開始,許多數學工作者將 Padé-型逼近理論加以發展.1983年,Draux[2]將 Padé-型逼近從數量情形推廣到非交換代數的情形,并提出矩陣 Padé-型逼近.1999年,Salam[3]將 Padé-型逼近推廣到向量情形,向量值Padé-型逼近是借助于 Clifford代數的方法來定義,該方法在具體計算中很難實現.2004年,顧傳青[4]引入一種從多項式空間到矩陣空間上的廣義線性泛函,從而在矩陣內積的基礎上構造和定義了矩陣值Padé-型逼近.

本研究借助于向量值 Padé-型逼近的誤差公式及高階向量值 Padé-型逼近[5-7],推導出向量值 Padé-型逼近表的塊狀結構特征,即當向量值 Padé-型逼近的生成多項式取為關于線性泛函的正交多項式時,塊狀結構特征表中的逼近元素及逼近階是完全相同的,可以利用該特征在計算高階向量值 Padé-型逼近時減少計算量.

1 向量值 Padé-型逼近的定義與構造

向量 a=(a1,a2,…,ad)∈Cd,b=(b1,b2,…,bd)∈Cd,ai,bi∈C.它們的內積定義為

定義向量 g=(g1,g2,…,gd)∈Cd的范數

這里 g＊表示 g的復共軛.

向量 g的廣義逆 (Samelson逆)定義為

設 P是一元實系數多項式,Pk表示 P中次數不超過 k的多項式的集合.設向量 g形式冪級數為

式中 ,ci∈Cd,z∈C.

設 φ:P→Cd為作用在多項式空間到向量空間上的線性泛函,定義為

如果 |xz|<1,則有 (1-xz)-1=1+xz+(xz)2+….將線性泛函作用在 (1-xz)-1上,可得

設 v∈Pn是次數為 n的數量多項式,有

定義具有向量值系數的多項式W(z)為

注意到 φ是作用于多項式空間的廣義線性泛函,因而W(z)是關于 z的次數為 n-1的具有向量值系數的多項式.再令

定理1[5]設v～(0)≠0,則成立

設 φ(l):P→Cd是作用于多項式空間到向量空間的廣義線性泛函,定義為

當 l+k<0時 ,規定 φ(l)(xk)=0.

根據構造公式 (4)～(7),定義

定理2[5]設v～(0)≠0,則成立Pmn(z)/

定義 2 定義向量值函數 Rm,n(z)=Pmn(z)/為(m,n)階向量值Padé-型逼近,記為(m/n)f(z).

2 向量值 Padé-型逼近表的結構特征

由向量值 Padé-型逼近誤差公式[5],有

根據 (m/n)f(z)的構造方式可知,(m/n)f(z)實際上取決于 n個任意常數,為此令

定義 3 滿足方程 (10)的數量多項式 v(x)定義為關于廣義線性泛函 φ(m-n+1)的正交多項式,由正交多項式 v(x)所確定的 (m/n)f(z),稱為給定向量冪級數 f(z)的高階向量 Padé-型逼近.

若在式 (10)中代入 v(z)=b0+b1z+…+bnzn,施加廣義線性泛函 φ(m-n+1),并與向量 cm-n+1分別作內積,得到下列線性方程組:

通過上述方程組已完整建立向量值 Padé-型逼近的行列式表達式[5].本研究在此基礎上討論由正交關系 (10)確定的生成多項式所構造的向量值Padé-型逼近表的分布特征.

定理 3 設 (1)vn(x)滿足

而 up(z)是任一關于 z的 p次多項式 (0≤p≤n);(2)(m/n)f(z)是 f(z)的以 vn(z)為生成多項式的向量 Padé-型逼近,則向量冪級數 f(z)的以 v(z)=up(z)vn(z)為生成多項式的 (m+p+h/n+p)f(z)向量值 Padé-型逼近滿足

式中,0≤p+h≤n.

證明 由高階向量值 Padé-型逼近的定義得

將式中 m換為 m+p+h,n換為 n+p,以 vn(z)up(z)為生成多項式,構造的向量值 Padé-型逼近,有

由式 (14),可推出

注意到泛函只作用在 x上,觀察式 (13)發現,W′(z)實際上是關于 z的 n+p-1次多項式,即

于是,有

注解 1 只有在給定生成多項式且此生成多項式是有正交關系確定的條件下,定理 3成立.

對方程組 (18)中的每一個方程分別與向量 c2作內積,所求得的形式正交多項式為 v2(z).記 (3/2)f(z)是以 v2(z)為生成多項式的 Padé-型逼近 ,則由定理 3得

式中,(3+p+h/2+p)f(z)是以 up(z)v2(z)為生成多項式的 Padé-型逼近,up(z)是任意 p次多項式 (0≤p≤2).如此得到向量值 Padé-型逼近表塊狀結構特征,即如下的逼近元素相同(逼近階也完全相同):

注解 2 若要計算 (5/4)f(z),根據注解 1,只要計算 (3/2)f(z).這樣減少了向量值 Padé-型逼近的計算量,但逼近階卻達到 O(z6).

例 1 考察控制論中的向量指數函數

解 當把向量值 Padé-型逼近 (5/4)f(z)的生成多項式取為正交多項式v～2(z)時,根據定理2,只需計算 (3/2)f(z),其分子、分母分別計算[5]如下:易驗證(3/2)f(z)=(5/4)f(z)=P32(z)/v～2(z).

[1] BREZINSKI C. Padé-type approximation and general orthogonal polynomials[M].Basel:Birkh?user,1980.

[2] DRAUX A.Approximants de type Padéet de Padé[M].Lille:Universiédes Science et Technologies de Lille,1983:1-89.

[3] SALAM A.Vector Padé-type approximants and vector PadéApp roximants[J].JApp roximation Theory,1999,97(1):92-112.

[4] GU C Q.Matrix Padé-type approximant and directional matrix in the inner p roduct space[J].J Comput Appl Math,2004,164/165:365-385.

[5] L IC J.A new vector-valued Padé-type approximation in the inner space[J].Numer Math J Chinese Univ:English Series,2006,15(2):127-136.

[6] 潘寶珍.用于積分方程解的函數值 Padé-型逼近的恒等式與遞推算法 [J].應用科學學報,2006,24(1):74-77.

[7] GU CQ,PAN B Z,WU B B.Orthogonal polynomials and determinant formulas of function-valued Padé-type approximation using for solution of integral equations[J].Appl Math Mech:Engl Ed,2006,27(6):853-860.

(編輯:孟慶勛)

Block Structure of Vector-Valued Padé-Type Table in the Inner Space

SU Rui, PAN Bao-zhen
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 241.83

A

1007-2861(2010)03-0253-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.03.007

2008-12-05

上海市重點學科建設資助項目 (J50101)

潘寶珍 (1965～),女,副教授,博士,研究方向為泛函分析.E-mail:bzpan@staff.shu.edu.cn