線性化二粒子Boltzmann方程組的特征值問題

布仁滿都拉，趙迎春

（1.赤峰學院 數學學院；2.赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

線性化二粒子Boltzmann方程組的特征值問題

布仁滿都拉1，趙迎春2

（1.赤峰學院 數學學院；2.赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

首先推出了二粒子～Boltzmann方程組的線性化方程組，其次利用線性化Boltzmann方程組的積分算子的特征值，特征函數求出了線性化二粒子～Boltzmann方程組積分算子的特征值，特征函數.

線性化二粒子～Boltzmann方程組；特征值；特征函數

1 預備知識

稱g,h為二點相關函數和三點相關函數，表示分子偏離分子混亂的程度.對于穩定的層流，這些項可以忽略，但對于非穩定流這些項將十分重要.在本文中我們將三點混亂水平上討論問題，即假定h=0,此時Boltzmann方程系[5,6]的最初兩個方程可以獨立求解.寫出這兩個方程如下（稱為二粒子Boltzman方程組）：

以上方程中z-(x,V)表示六維相空間的點，x,V分別為粒子的的位置和速度，帶撇的變量表示分子碰撞后的值.J表示碰撞積分算子：

將(1.3)代入(1.1),(1.2),經過簡化得

這說明了f(0),g1(0)是(1.4),(1.5)的局部平衡解，進一步可知，f(0)(z,t),f(0)(z,t)f(0)(z,t)是(1.1),(1.2)的局部平衡解.

2 線性化二粒子～Boltzmann 方程組的積分算子的特征值，特征函數

假設

且f和g與位置x無關,f(0)的參數與時間和位置無關.將(2.1)代入(1.4)和(1.5)并且忽略二階無窮小量，得

稱(2.2)，(2.3)為線性化的二粒子Boltzmann方程組.

下面我們研究特征值問題

這里我們允許h1,h2是廣義函數[4],否則當λ≠0時可能沒有非零解.

(2.5)+(2.6)，(2.5)-(2.6)得：

若 λ=0,則當 h,φ 取相同的碰撞不變量(ψ=a+b.V+cv2.其中a,c是常數，b是常矢量)時,(2.5),(2.6)成立.由(2.7)可得 λ=0是L的特征值，h+φ是對應的特征函數.若λ≠0，則由（2.7）可知 h=φ.關系式（2.7）知是L的特征值，h+φ是對應的特征函數.

2.設λ是L的特征值，h是與λ對應的特征函，則

這里 h=φ.(2.8),(2.9)說明了 2 λ 是L軈的特征值，(h,h)是與 λ對應的特征函數.

由 1,2可知{L軈的全部特征值}={2 λ|λ 是 L的特征值}.根據上面的討論可知,由L的特征值和特征函數能得出L軈的特征值和特征函數.因此只討論L的特征值和特征函數即可.

(1)設氣體分子是Maxwell's分子.

由于L的特征值和特征函數[4]為

其中 Ylm(θ,φ)是球諧函數，Lnα(z)是連帶的拉蓋爾多項式[4].因此的特征值}={2 λnl|λnl是 L的特征值}，與λ軈nl對應的特征函數為(gnlj,gnlj)

(2)由[2],[4]可知，對剛球模型，小角度截斷的冪次大于5的冪次反比律作用力模型，小角度截斷的Max well分子模型,有Lh=Kh-v(c)h.

其中K是積分算子，且緊算子[2],[4],[10],v(c)是乘法算子.對剛球模型，小角度截斷的冪次大于5的冪次反比律作用力模型,當c從零到正無窮時v(c)從最小值v(0)單調增加到正無窮.對小角度截斷的冪次小于5的冪次反比律作用力模型，當c從零到真無窮時v(c)從vi(0)單調遞減到零.對小角度截斷的Max well分子模型，v(c)是常數.在[2],[4]中，利用Weyl定理證明了λ=-v(c)是Li的連續譜.還已知L存在無窮多個離散的特征值[4]，集中于v(0).對剛球模型，小角度截斷的冪次大于5的冪次反比律作用力模型，L的離散的特征值位于區間(-v(0),0]內.對小角度截斷的冪次小于5的冪次反比律作用力模型，L的離散的特征值位于(-∞,-v(0)).對小角度截斷的Max well分子模型，L的離散的特征值位于[-v(0),0].所以有如下譜分布:

設v0=2 v(0)

〔1〕S.chapman and T.G.Cowling.The MathematicalTheory of the Non-Uniformgases,Cambridge Univercity Press(1953).

〔2〕H.Grad,Asymptotic Theory of the Boltzmann Equation,ll.Phys.Fluid,6:147-181,1963.

〔3〕H.Grad,Principles of the Kinetic theory of Gases,in Handbuch der Physik,vol.12.S.Flugg-e.Ed.(Springer-Ver lag,Berlin,1958)pp.205-294.

〔4〕C.Cercignani,The Boltzmann Equation and Applications,Scottish Academic Press,Edinburgh(1975).

〔5〕陳建寧～$Boltzmann$方程的兩個解的平均作為二粒子～$Boltzmann$方程系的解.數學物理學報，1990（3）：259-272.

〔6〕Tian-quan Chen,Hilbert-Enskog-Chapman Expansion in the Turbulent Kinetic Theory of Gases,l,Journal of statisticalphysics,Vol 25,No,3,1981.

〔7〕K.Sagara,S.Tsug$acute{e}$,A bimodal Maxwellian distribution as the equilibrium solution of the two-particle regime,Phys.Fluids,vol.25,No.11,November 1982.

〔8〕S.Tsug$acute{e}$,Apporoach to the origin of turbulence on the basis of two-point kinetic theory,Phys.Fluids,vol.17,No.1,November 1974.

〔9〕S.Tsug$acute{e}$,K.Sagara,Kinetic theory of turbulent compressible flows and comparison with classical theory,Phys.Fluids,vol.19,No.10,November 1976.

〔10〕Robert T.Glassey,The Cauchy Problem IN Kinetic Theory,Publisher:Society for Industrial Mathematics,1987.

O 175.3

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1673-260X（2010）12-0023-02