基于Beta樣條曲線的等高線繪制研究

盛慶紅

(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,江蘇 南京 210016)

基于Beta樣條曲線的等高線繪制研究

盛慶紅

(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,江蘇 南京 210016)

等高線須以相似的光滑曲線逼近實(shí)際地貌形態(tài),并綜合地形在一定限度內(nèi)的地勢(shì)起伏,其智能化控制對(duì)地貌表達(dá)具有重要的實(shí)用價(jià)值。繪圖員繪制曲線時(shí)能憑經(jīng)驗(yàn)捕捉到數(shù)據(jù)點(diǎn)所包含的幾何形狀信息,而張力樣條函數(shù)和三次B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)插值時(shí),嚴(yán)格要求二階參數(shù)連續(xù),不符合人的經(jīng)驗(yàn)直覺(jué),是節(jié)點(diǎn)對(duì)參數(shù)曲線連接光滑度的過(guò)分限制。根據(jù)人工繪制等高線的規(guī)則,提出將三次Beta樣條曲線作為基于人工繪制約束的等高線插值的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)引入形狀控制參數(shù)放松對(duì)曲線的光滑性的要求,增加了控制等高線形狀的自由度,把 C2連續(xù)的三次B樣條松弛成為 G2連續(xù)的Beta樣條,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明插值的等高線符合地形綜合度要求。

數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量;等高線;Beta樣條曲線

等高線是一種不可或缺的圖形表達(dá)方式,研究其智能化的控制過(guò)程具有極其重要的實(shí)用價(jià)值。繪制等高線是對(duì)大量離散的、又具有一定規(guī)律的幾何量值或物理量值,用數(shù)學(xué)的方法插值變換成圖的過(guò)程。用攝影測(cè)量方法自動(dòng)采集的DEM數(shù)據(jù)[1],影像的相關(guān)誤差、定向誤差等對(duì)DEM數(shù)據(jù)以及從DEM插值的等高線的質(zhì)量造成影響,而且自動(dòng)制圖中沒(méi)有考慮人工繪制等高線時(shí)的“肉眼的分析和觀察”規(guī)則,導(dǎo)致地形過(guò)度綜合造成地形特征缺失,且相鄰等高線形態(tài)不協(xié)調(diào)。在實(shí)際生產(chǎn)中,等高線的平滑、地形綜合和突變點(diǎn)線的判斷及處理等必須進(jìn)行人工判斷和干預(yù),使得生成效率大大降低,因此在等高線繪制過(guò)程中引入人工繪制等高線規(guī)則,對(duì)提高等高線的質(zhì)量和實(shí)際生產(chǎn)效率具有重要意義。

1 人工繪制等高線規(guī)則

一般等高線插值方法需要滿足以下要求:①曲線應(yīng)通過(guò)已知的等高線點(diǎn)(常稱為節(jié)點(diǎn));②曲線在節(jié)點(diǎn)處光滑,具有連續(xù)的一階(或二階)導(dǎo)數(shù);③曲線無(wú)論撓度多大都不應(yīng)自身相交;④相鄰兩點(diǎn)之間的曲線段無(wú)多余的擺動(dòng);⑤逼近實(shí)際地形的效果好,即地形綜合度適宜。常用的一些插值方法都能嚴(yán)格滿足上述的條件①和②,張力樣條函數(shù)[2]插值方法,解決了曲線的多余擺動(dòng)(針對(duì)條件④)。三次B樣條曲線插補(bǔ)法是滿足二階參數(shù)連續(xù)(C2)的插值曲線[3],其每個(gè)曲線段都是以參數(shù)為變量的三次B樣條函數(shù),并非是小撓度的,而等高線曲線往往是大撓度多彎曲的曲線,因此,三次B樣條曲線僅僅適合于數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻和地形平坦地區(qū),對(duì)條件⑤無(wú)法滿足。對(duì)于條件⑤,常見(jiàn)的插值方法大多不能滿足,這是因?yàn)榈雀呔€的繪制必須以相似的光滑曲線逼近實(shí)際地貌形態(tài),并綜合地形在一定限度內(nèi)的地勢(shì)起伏,使其盡可能顯現(xiàn)出立體感,特別是大比例尺的等高線圖的自動(dòng)繪制,平坦地區(qū)的地形綜合度明顯不夠,地形起伏大的地區(qū)表達(dá)也不夠準(zhǔn)確。

而繪圖員以人工方式繪制的等高線總是比自動(dòng)的曲線插值算法生成的曲線更合理。這是由于繪圖員能憑經(jīng)驗(yàn)捕捉到數(shù)據(jù)點(diǎn)所包含的幾何形狀信息,從而繪制出合乎要求的等高線。人從經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)中發(fā)現(xiàn),兩曲線段在連接點(diǎn)處有相同的切線,就認(rèn)為是光滑的。按照參數(shù)連續(xù)性度量光滑度時(shí),光滑條件必須有相同的切矢模長(zhǎng)。而實(shí)際上,曲線具有切向連續(xù)并非必需具有連續(xù)的對(duì)一般參數(shù)的切矢,曲線具有曲率連續(xù)也不一定具有連續(xù)的對(duì)一般參數(shù)的切矢與二階導(dǎo)矢。可見(jiàn),參數(shù)連續(xù)是對(duì)參數(shù)曲線連接光滑度的過(guò)分限制,是人為強(qiáng)加的限制。

1.1 二階幾何連續(xù)

實(shí)質(zhì)上,等高線的曲線形狀的客觀內(nèi)在幾何特征是不依賴于參數(shù)曲線的參數(shù)選取及具體參數(shù)化方式。基于視覺(jué)連續(xù)的幾何連續(xù)性,著眼于形狀內(nèi)在幾何特征的描述,擺脫對(duì)參數(shù)選擇的依賴,為形狀定義提供了額外的自由度,獲得對(duì)形狀控制的更大的靈活性。曲率連續(xù)但不必C2的曲線幾何上連續(xù)的,稱為二階幾何連續(xù)(G2)[4]。設(shè) p(u)是 C1的曲線,p(u)關(guān)于一般參數(shù) u的一階導(dǎo)矢為 ˙p(u),且 ˙p(u)≠0,u為整數(shù)參數(shù)。Nielson[4]給出了 p(u)為 G2的條件:在 u處具有一致的關(guān)于弧長(zhǎng)參數(shù)s的左右二階導(dǎo)矢,即 p″-(s)=p″+(s),且左右二階導(dǎo)矢差平行于切矢,則該 C1曲線就是 G2的曲線。設(shè)弧長(zhǎng)參數(shù)s與一般參數(shù)u之間存在變換關(guān)系u=u(s),則其中。式(1)的幾何意義如圖1所示。

圖1 G2的幾何意義

1.2 基于人工繪制過(guò)程的等高線插值規(guī)則

為使等高線插值效果符合人類視覺(jué),地形綜合度適宜的要求,本文總結(jié)出了滿足人工繪制等高線條件的插值規(guī)則:①不存在多余拐點(diǎn);②曲率變化均勻;③二階幾何連續(xù)。其中,規(guī)則①和②的要求是顯而易見(jiàn)的。規(guī)則③中的 G2連續(xù)不同于 C2連續(xù),C2連續(xù)并不一定能保證切線方向與曲率連續(xù),反過(guò)來(lái),切線方向與曲率連續(xù)也不一定必須是C2連續(xù)。

2 基于人工繪制約束的等高線繪制

Beta樣條具有B樣條的若干性質(zhì),由于其引入了新的參量來(lái)改變曲線的形狀,把C2連續(xù)的三次均勻B樣條曲線松弛成為G2曲線[5],其表達(dá)式為

其中:di為控制頂點(diǎn),Ni,3(u)為基函數(shù),是由參數(shù) u決定的三次多項(xiàng)式,β1和β2為形狀控制參數(shù),β1為偏移參量,β2為張力參量。對(duì)于給定的控制頂點(diǎn)序列{di}0n-1,Beta樣條曲線的形狀僅取決于基函數(shù),形狀參數(shù)β1和β2決定基函數(shù),因此,給定一個(gè)控制多邊形,Beta樣條曲線的局部可通過(guò)它含有兩個(gè)形狀控制參數(shù)進(jìn)行修改。而三次B樣條曲線是一條確定的曲線,若想保持樣條曲線的“次數(shù)”不變,修改該曲線的局部信息,必須移動(dòng)某個(gè)頂點(diǎn)或插入新的控制頂點(diǎn),這樣必然降低曲線的可靠性。Beta樣條曲線比B樣條曲線更靈活、更廣泛[6]。Beta樣條曲線通過(guò)合適的形狀控制參數(shù)實(shí)現(xiàn)曲線形狀“細(xì)調(diào)”。繪圖員在等高線繪制過(guò)程中,分析了地形的變化情況,捕捉了曲線所應(yīng)包含的幾何形狀信息,進(jìn)行了地形的綜合,從而繪制出合理的等高線。那么控制曲線上各節(jié)點(diǎn)處形狀的β1和β2參數(shù)顯然不應(yīng)該相同,才能夠滿足等高線插補(bǔ)條件⑤,實(shí)現(xiàn)繪圖員人工繪制等高線的過(guò)程。因此,基于形狀控制參數(shù)β1和β2約束的曲線的插值即為基于人工繪制約束的等高線插值。

2.1 沿曲線變化的形狀控制參數(shù)對(duì)曲線的影響

在各節(jié)點(diǎn)處應(yīng)當(dāng)取不同的β1和β2,即形狀控制參數(shù)可沿曲線變化。在某些節(jié)點(diǎn)處設(shè)置不同的β2和β1來(lái)修改曲線局部的信息。圖2和圖3為對(duì)應(yīng)中間某一控制頂點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)處,取不同的β2和β1時(shí),該點(diǎn)鄰近的曲線的局部變化情況。其中,圖2中參數(shù)取值為β2≡0,β1分別為1、0.1和 5。圖 3中參數(shù)取值為β1≡1,β2分別為0、5和10。從圖中看出,某一節(jié)點(diǎn)處β1和β2值對(duì)曲線的影響是局部的,且β1和β2分別起著局部偏移和局部張力的作用。

2.2 滿足等高線插值條件⑤的β1、β2的取值

為了使三次Beta樣條曲線適應(yīng)不同地形,β1和β2的取值至關(guān)重要。平坦地區(qū)的等高線上節(jié)點(diǎn)的曲率小,地形起伏大的區(qū)域其等高線的彎曲大,撓度大。β1的變換會(huì)引起連接點(diǎn)處曲線段的整體偏移,對(duì)等高線產(chǎn)生主導(dǎo)影響。β2是曲線的張力參數(shù),表達(dá)地形綜合的程度,因此對(duì)于平坦區(qū)域,節(jié)點(diǎn)β2值應(yīng)小,相反,曲率大的節(jié)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)緊貼控制多邊形,β2盡量大。可見(jiàn),β2的取值與地形變化密切相關(guān),即與曲線的曲率變化相關(guān)。第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的形狀控制參數(shù)β1,i,β2,i取值為

3 實(shí)驗(yàn)與分析

對(duì)華中地區(qū)某林地實(shí)地獲取序列影像,利用多基線攝影測(cè)量系統(tǒng)自動(dòng)生成密集三維點(diǎn)云,內(nèi)插得到數(shù)字高程模型[7],分別利用不同的方法插補(bǔ)等高線。圖4為各種方法插補(bǔ)的等高線(圖4(a)、(b)和圖4(c))與人工繪制的等高線(圖4(d))的比較結(jié)果(等高線步距為1)。圖4(a)為張力樣條函數(shù)插補(bǔ)的等高線,其整條曲線的張力系數(shù)相同,為了表達(dá)大起伏地形,造成平坦地區(qū)2處的曲線段過(guò)于彎曲。對(duì)于如圖4中1處的地形稍復(fù)雜且面積大的區(qū)域,曲線明顯存在整體上彎曲大的問(wèn)題,其原因是不能在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處給予不同的張力系數(shù)以便適應(yīng)不同地形表達(dá)的需要,一條曲線上處處相同的張力系數(shù)使得曲線段連接點(diǎn)處是嚴(yán)格的參數(shù)連續(xù)的,無(wú)法滿足實(shí)現(xiàn)曲線內(nèi)在幾何形狀特征表達(dá)要求的幾何連續(xù)條件。張力系數(shù)為5。圖4(b)為三次B樣條插補(bǔ)的等高線,大部分曲線段,特別是1、2、3區(qū)域過(guò)于平滑,完全沒(méi)有表達(dá)出地形特征,為實(shí)現(xiàn)其參數(shù)二階連續(xù),甚至在曲線段4處形成了尖角,三次B樣條曲線只適合十分平坦,沒(méi)有起伏變化的地形。本文的基于三次Beta樣條曲線插補(bǔ)的等高線圖4(c),由于深入分析了繪圖員在實(shí)際繪圖時(shí)所考慮的幾何形狀信息,曲線段間的連接點(diǎn)處根據(jù)實(shí)際地形自動(dòng)調(diào)節(jié)形狀控制參數(shù),將 C2連續(xù)的三次B樣條松弛成為 G2連續(xù)的Beta樣條,使得同時(shí)顧及大起伏和平坦的不同地形,獲得的等高線準(zhǔn)確的表達(dá)了地形起伏變化,符合地形綜合的要求,滿足成圖需要。圖4(d)為人工繪制等高線,與三次Beta樣條曲線插補(bǔ)的等高線曲線形態(tài)幾乎完全相同。

綜上所述,三次Beta樣條曲線相比三次B樣條和張力樣條函數(shù)插補(bǔ)的等高線曲線更能適應(yīng)起伏不同的地形的表達(dá),這是由于Beta樣條插值曲線具有β1和β2形狀控制參數(shù),而實(shí)際地形大多具有起伏變化。三次B樣條插補(bǔ)適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻和十分平坦地形,張力樣條函數(shù)插補(bǔ)可用于地形起伏的小面積地區(qū),但由于每條樣條上相同的張力系數(shù),不適合實(shí)際地形的變化,不利于起伏不同的地形的表達(dá)。

4 結(jié)束語(yǔ)

在實(shí)際生產(chǎn)中,等高線的平滑、地形綜合和突變點(diǎn)線的判斷及處理等必須進(jìn)行人工判斷和干預(yù),使得生成效率大大降低,而且存在一定的盲目性。本文重點(diǎn)分析了繪圖員繪制曲線的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)其能夠憑經(jīng)驗(yàn)捕捉到數(shù)據(jù)點(diǎn)所包含的幾何形狀信息,從而繪制出光滑等高線,而張力樣條函數(shù)和三次B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)插值時(shí),嚴(yán)格要求二階參數(shù)連續(xù),不符合人的經(jīng)驗(yàn)直覺(jué),是節(jié)點(diǎn)對(duì)參數(shù)曲線連接光滑度的過(guò)分限制。在總結(jié)了人工繪制等高線的三條規(guī)則的基礎(chǔ)上,提出將三次Beta樣條曲線作為基于人工繪制約束的等高線插值的數(shù)學(xué)模型。論述了三次Beta樣條曲線的二階幾何連續(xù)性,通過(guò)引入的形狀控制參數(shù)(偏移和張力形狀參數(shù))放松了對(duì)曲線的光滑性的要求,增加了控制等高線形狀的自由度,從而降低了三次B樣條曲線苛刻的約束要求,把 C2連續(xù)的三次B樣條松弛成為G2連續(xù)的Beta樣條。結(jié)果表明插值的等高線符合地形綜合度要求,特別適用于起伏不同的復(fù)雜地形的表達(dá)。

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Research on contours interpolation based on Beta spline

SHENG Qing-hong
(College of Astronautics,Nanjing University of Aeronautics&Astronautics,Nanjing 210016,China)

Contour m ust be similar to the smoo th curves of app roaching the actual landscape patterns,integrated the topographic relief and dow nsof the terrain,to the extent possible to show stereo sense.Draftsmen use their experience to cap ture the geometry information contained in data to map out reasonable contour;sum up hand-draw n contours’rules;make use of cubic Beta sp line curve interpolation contours;introduce migration and tension shape Parameters to release the requirement to the smooth curves,reducing cubic B spline harsh requirements,making the consecutive cubic B sp line to flab G2 consecutive Beta sp line,to p roduce the reasonable requirements of the Comp rehensive contour map,and eventually realize the measurement hillside woodland of images from the ground.

digital photogrammetry;contours;Beta sp line

TP317.4

A

1006-7949(2010)06-0024-04

2010-09-11

盛慶紅(1978-),女,講師,博士.

[責(zé)任編輯張德福]