向量空間中若干問題的入微分析和研究

劉學(xué)鵬

(臨沂師范學(xué)院,山東臨沂 276005)

向量空間中若干問題的入微分析和研究

劉學(xué)鵬

(臨沂師范學(xué)院,山東臨沂 276005)

對向量空間中若干有代表性的問題進(jìn)行了深入細(xì)致的分析和研究.

過渡矩陣;坐標(biāo);基礎(chǔ)解系;線性相關(guān);線性無關(guān)

大凡高等代數(shù)或線性代數(shù)讀者,對向量空間理論的抽象性很可能仍記憶憂新,尤其對正在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的在校大學(xué)生,也肯定已經(jīng)體會到向量空間的理論難以理解.基于此,我們的確有必要對向量空間中有代表性的問題進(jìn)行深入細(xì)致的分析及研究.本文所論及的問題對正在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容的讀者可能會有所裨益,這也正是筆者所期待的.

另外,本文為線性代數(shù)理論系列研究的繼續(xù),因?yàn)槲腫4],[5]及[6]已就線性代數(shù)理論中的逆向問題、反例問題和命題的正誤推論做了較為詳盡的分析和探討.

問題1 求過渡矩陣的技巧性問題.

點(diǎn)評 (i)求過渡矩陣的方法,通常可以采用定義法,即將“后”基的各向量用“前”基表示出之后,再以坐標(biāo)為列構(gòu)作的矩陣即是所求的過渡矩陣,盡管此法“少慢差費(fèi)”,但這卻是好的基礎(chǔ);

(ii)在上述推導(dǎo)過程中,我們已經(jīng)得到了P=B-1A,這時(shí),只要求出B-1,然后再與A相乘,同樣可以得到所求的過渡矩陣.

讀者不難發(fā)現(xiàn),求過渡矩陣的方法還是以構(gòu)作新矩陣,然后進(jìn)行初等行變換的方法簡捷,因?yàn)檫@樣確能夠收到事半功倍之效.

問題2 齊次線性方程組與基礎(chǔ)解系的關(guān)系.

我們知道,齊次線性方程組永遠(yuǎn)是有解的.且當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí),必有基礎(chǔ)解系.現(xiàn)在來討論已知基礎(chǔ)解系時(shí),如何求齊次方程組.

注 已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,反求原齊次線性方程組的方法,讀者可參見文獻(xiàn)[1] (P290-292).不過,我們這里用下面的方法.

例2 設(shè)某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為

試求這個(gè)齊次線性方程組.

解 設(shè)所求齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A.由題設(shè)知,秩A=5-2=3.則所求方程組只有三個(gè)獨(dú)立方程,兩個(gè)自由未知量,且所求方程組的一般解為

問題3 向量的坐標(biāo)與線性方程組的增廣矩陣的關(guān)系.

設(shè)向量β在基α1,α2,…,αm下的坐標(biāo)為(x1,x2,…,xm),則

點(diǎn)評 求向量的坐標(biāo),我們上面的推導(dǎo)是利用了線性方程組的理論,將文獻(xiàn)[1](P442-444)的方法1和方法2進(jìn)行了有機(jī)的結(jié)合,從而使得依據(jù)充分,方法簡捷而明快.

問題4 向量的線性相關(guān)性與齊次線性方程組的解之間的關(guān)系.

判斷向量組α1,…,αm的線性相關(guān)性一般借助關(guān)系式

由此可得到向量的線性相關(guān)性與齊次方程的解的水乳交融的關(guān)系.即

向量組α1,…,αm線性相關(guān)(無關(guān))?齊次線性方程組AX=0有非(只有)零解?秩A＜=m.

點(diǎn)評 這是一個(gè)較為普通的問題,但應(yīng)引起讀者重視的是,問題普通但卻非常重要,因向量的線性相關(guān)性是向量空間理論乃至整個(gè)高等代數(shù)或線性代數(shù)理論的重要基礎(chǔ).

關(guān)于這類問題的例子,各家高等代數(shù)或線性代數(shù)教科書及相關(guān)資料均有所列舉,故而我們不再舉例.

問題5 向量的線性組合(表示)與線性方程組解的關(guān)系.

今設(shè)向量α1,…,αm,β均為列向量,若β是α1,…,αm的線性組合,即有一組數(shù)x1,…,xm,使得

這是由線性組合到線性方程組的微妙微肖的轉(zhuǎn)化.故而可見:

β是α1,…,αm的線性組合?線性方程組AX=β有解?秩

問題6 向量α,β的線性相關(guān)性與二階行列式的關(guān)系.

我們知道,在歐氏空間V中有著名的柯西—布涅可夫斯不等式,即對?α,β∈V,有

今聯(lián)系二階行列式給出等號的證明.

點(diǎn)評 這是何等的巧妙!因?yàn)橹灰孟蛄喀?β作出上面的二階行列式,問題就迎刃而解了,所以,技巧就是構(gòu)作二階行列式,而構(gòu)作的二階行列式主要是根據(jù)要證明的等式的特點(diǎn).

問題7 柯西—布涅可夫斯不等式的巧妙應(yīng)用.

點(diǎn)評 這個(gè)證明也是相當(dāng)美妙!美妙在利用所給的兩個(gè)正實(shí)數(shù)m,n作出了兩個(gè)向量α與β,隨即利用了內(nèi)積的通常定義.

問題8 歐氏空間中向量夾角定義的自然性.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中有余弦定理:設(shè)α,β為三角形的任意兩邊(向量表示),則另一邊為β-α,若α,β的夾角為θ,則有

這正是歐氏空間中向量夾角的定義.

點(diǎn)評 (i)對于抽象問題的定義能夠借助已有的知識自然給出,這對于讀者(尤其是初學(xué)者)的記憶和理解應(yīng)該說是很有幫助的;

[1] 毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納(第二版)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社,2003.

[2] 周士藩,等.高等代數(shù)解題分析[M].南京：江蘇科技出版社,1985.

[3] 王卿文.高等代數(shù)學(xué)綜論[M].香港：香港天馬圖書有限公司,2000.

[4] 劉學(xué)鵬.線性代數(shù)理論中幾個(gè)問題的逆向研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(5)：112-115.

[5] 劉學(xué)鵬.線性代數(shù)理論中經(jīng)典命題的反例研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(6)：174-177.

[6] 劉學(xué)鵬,徐傳勝.線性代數(shù)理論中兩個(gè)典型命題的正誤推論研究[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(6)：16-18.

An In-depth Analysis and Research of Some Issues in Vector Space

L IU X ue-peng
(Linyi Normal University,Linyi,Shandong,276005,China)

To make an in-depth and detailed analysis and study on several representative issues in vector space.

transistion matix;coordinate;basic set of solutions;linearly dependent;linearly independent

O151

C

1672-1454(2010)03-0173-04

2007-08-24;[修改日期]2008-03-28