Duggal變換與Aluthge變換的數值域*

劉秀梅

(浙江師范大學 行知學院,浙江 金華 321004)

Duggal變換與Aluthge變換的數值域*

劉秀梅

(浙江師范大學 行知學院,浙江 金華 321004)

設A是作用在復Hilbert空間H上的有界線性算子,證明了A的Duggal變換的數值域包含于A的數值域;同時,利用簡潔的方法證明了A的Aluthge變換的數值域等于A的*-Aluthge變換的數值域.

Duggal 變換;Aluthge變換;*-Aluthge變換;數值域

本文中,N(A)和R(A)分別表示算子A的核空間和值域空間.

例1令

是算子A的極分解,則

但如果選取部分等距U為一個極大部分等距,則

例1說明Duggal變換與部分等距V的選取是有關的.

則易知Vx0≠0且1≥‖Vx0‖gt;0,因此

由數值域定義得

(A).

接下來討論Aluthge變換的數值域.首先給出幾個引理.

引理1[2]令A=V|A|是算子A的極分解,則

(1)A*=V*|A*|是算子A*的極分解;

引理2[2]設A,B∈B(H),如果對某個壓縮算子X,有A=X*BX,則W(A)?(W(B)∪{0})∧.更進一步,如果X是一余等距,即XX*=1,則W(B)?W(A),其中對復平面上的一子集△來說,△∧表示它的凸包.

設A∈B(H),定義

γ(A)=inf{‖Ah‖:‖h‖=1,h⊥N(A)}.

由文獻[8]知,A為半Fredholm算子當且僅當R(A)為閉子空間且N(A)或N(A*)為有限維子空間.記indA=dimN(A)-dimN(A*).如果A為半-Fredholm算子,N(A)=0,B∈B(H)且‖B‖lt;γ(A),則N(A+B)=0,ind(A+B)=indA.

引理4如果V是一個非酉等距算子,則

}.

證明 因為V為非酉等距算子,所以

σ(V)?{λ∈C:|λ|≤1}.

容易驗證N(V)=0,V為半-Fredholm算子,并且γ(V)=1.

對任意的α∈C滿足|α|lt;1,有‖αI‖lt;1=γ(V),從而

ind(V+αI)=ind(V).

因為indV=dimN(V)-dimN(V*)≠0,所以ind(V+αI)≠0,則V+αI不可逆,從而

{α∈C: |α|lt;1}?σ(V).

因為σ(V)為閉集,所以σ(V)={λ∈C: |λ|≤1}.

因為1=r(V)≤w(V)≤‖V‖=1,其中r(V)和w(V)分別為V的譜半徑和數值域半徑,所以

}.

定理2對任意的算子A∈B(H),有

).

證明 分3種情況證明這個結論.

致謝:衷心感謝陜西師范大學杜鴻科教授,他與筆者就本文進行了有益的討論.

[1]Aluthge A.Onp-hyponormal operators for 0lt;plt;1[J].Intergral equations operator theory,1990,13(3):307-315.

[2]Wu Peiyuan.Numerical range of Aluthge transform of operator[J].Linear Algebra and its Applications,2002,357(1/2/3):295-298.

[3]Foias C,Jung I B,Ko E,et al.Complete contractivity of maps associated with the Aluthge and Duggal transforms[J].Pacific Journal of Mathematics,2003,209(2):249-259.

[4]Okubo K.On weakly unitarily invariant norm and the Aluthge transformation[J].Linear Algebra and its Applications,2003,371:369-375.

[5]Yamazaki T.On upper and lower bounds of the numerical radius and an equality condition[J].Studia Mathematica,2007,178(1):83-89.

[6]Gustafson K E,Rao D K M.Numerical range,the field of values of linear operators and matrices[M].New York:Springer-Verlag,1997.

[7]Yamazaki T.On numerical range of the Aluthge transformation[J].Linear Algebra and its Applications,2002,341(1/2/3):111-117.

[8]Conway J B.A course in functional analysis[M].New York:Springer-Verlag,1990.

(責任編輯 陶立方)

NumericalrangeoftheDuggaltransformandAluthgetransform

LIU Xiumei

(XingzhiCollege,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

LetAbe a bounded linear operator on a complex Hilbert space H. It was proved that the numerical range of the Duggal transform ofAwas contained in that ofA. It was also proved that the numerical range of the Aluthge transform ofAwas equal to that of the *-Aluthge transform ofAby a simplified method.

Duggal transform; Aluthge transform; *-Aluthge transform; numerical range

1001-5051(2010)01-0018-04

2009-06-14

國家自然科學基金資助項目(10971195)；浙江省教育廳科研項目(200909304)

劉秀梅(1980-),女,山西介休人,講師,碩士.研究方向:泛函分析.

O177.1

A