一類非線性三階三點邊值問題的可解性*

許也平

(杭州廣播電視大學,浙江 杭州 310012)

一類非線性三階三點邊值問題的可解性*

許也平

(杭州廣播電視大學,浙江 杭州 310012)

討論了一類非線性項含一階和二階導數的三階三點邊值問題的可解性,在非線性項f滿足線性增長的限制條件下,通過構造適當的Banach空間,并利用Leray-Schauder非線性抉擇,證明了一個存在定理.

三階三點邊值問題；解；存在性；Leray-Schauder非線性抉擇

三階邊值問題在應用數學和物理中有著非常重要的意義，對此已有許多研究成果[1-5].本文研究三階三點邊值問題

筆者討論上述非線性項含一階和二階導數的三階三點邊值問題(1)解的存在性,得到如下結論：

定理1假設f:[0,1]×R×R×R→R連續(xù)并存在非負函數a,b,c,d∈L1[0,1],使得

|f(t,u,v,w)|≤a(t)|u|+b(t)|v|+c(t)|w|+d(t),0≤t≤1.

如果

則問題(1)至少有1個解u*∈C2[0,1].

E={u∈C2[0,1]:αu(0)=βu′(0)=0,u′(1)=αu′(η)}

是一個關于范數|‖u‖|=max{‖u‖,‖u′‖,‖u"‖}的Banach空間.

引理1[1]設G(t,s)是齊次三階三點邊值問題

的Green函數，那么

引理2對G(t,s),有

另外,由式(2)知

下面證明

接下來證明

于是引理2得證.

定理1的證明 對于u∈E，定義T算子為

容易證明T:E→E全連續(xù)且算子T在E中的不動點均為問題(1)的解.因此,證明的目標就是尋找T在E中的不動點.顯然,零函數為問題(1)的解當且僅當

f(t,0,0,0)≡0,0≤t≤1.

假設存在u∈?Vρ,λgt;1,使得Tu=λu.因為|‖u‖|=ρ，那么‖u‖≤ρ,‖u′‖≤ρ,‖u"‖≤ρ.這表明

|u(s)|≤ρ,|u′(s)|≤ρ,|u"(s)|≤ρ,0≤s≤1,

故

這與λgt;1,ρgt;0矛盾.根據引理3,算子T至少有1個不動點u*∈Vρ.也就是說,問題(1)至少有1個解u*∈E.定理1證畢.

[1]Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary value problems[J].Nonl Anal,1994,23(10):1225-1242.

[2]姚慶六.線性增長限制下一類三階邊值問題的可解性[J].純粹數學與應用數學,2005,21(2):164-167.

[3]王素云.三階非線性常微分方程正解的存在性[J].甘肅科學學報,2003,15(3):1-5.

[4]Guo Lijun,Sun Jianping,Zhao Yahong.Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J].Nonlinear Analysis:Theory Methods amp; Applications,2008,68(10):3151-3158.

[5]Yao Qingliu.The existence and multiplicity of positive solutions for a third-order three-point boundary value problem[J].Acta Math Appl Sinica,2003,19(1):117-122.

(責任編輯 陶立方)

Solvabilityofathird-orderthree-pointboundaryvalueproblem

XU Yeping

(HangzhouRadioandTVUniversity,HangzhouZhejiang310012,China)

The solvability was considered for a class of third-order three-point boundary value problem with first and second derivatives. With the nonlinear termfsatisfied a restriction of linear growth, by constructing a suitable Banach space and applying the Leray-Schauder nonlinear alternative, an existence theorem was established.

third-order three-point boundary value problem; solutions; existence; Leray-Schauder nonlinear alternative

1001-5051(2010)01-0022-05

2009-09-06

浙江省教育廳科研項目(Y200804663)

許也平(1962-),男,浙江杭州人，副教授.研究方向:微分方程及其應用.

O175.8

A