索拱組合結構的動力建模及其內共振分析

呂建根 ，趙躍宇，王榮輝

(1. 華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州，510641；2. 仲愷農業工程學院 城市建設學院，廣東 廣州，510225；3. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410082)

1 索拱組合結構的動力學方程

索拱組合結構模型如圖1所示。為了建模方便，將索的運動在坐標系xOy中描述，拱的運動在中描述。圖1中：θc和θg分別為索和拱的水平傾角；lc和lg分別為索和拱在相應坐標系中的跨度；dc和dg分別為索的初始垂度和拱的矢高。

圖1 索拱組合結構相互作用分析模型Fig.1 Mechanical model of cable-stayed arch

對于如圖1所示坐標系，索和拱在右端端點鉸接。根據位移協調條件，其連接關系式如下：

式中：ug和uc分別為拱和索在長度方向的縱向位移；vg和vc分別為拱和索的橫向振動位移。

根據索的三維非線性運動控制方程[12]，通過化簡整理可得到拉索平面運動學方程：

式中：EcAc為索的抗壓剛度；mc為索的單位長度質量；H為索的初始張力；y0為斜拉索的初始線性方程，為x的函數；cc為彈性索的結構阻尼系數。

由于彈性索縱向變形遠小于其橫向變形，而橫向振動頻率與縱向振動頻率相差很大，因此，縱向慣性力可以忽略。將式(2)中第 1式兩邊同時對 xc在區間[0, lc]內積分，結合式(1)，可以得到彈性索在考慮縱向位移后的橫向運動微分方程：

在大跨度纜索吊裝施工過程中，懸臂拱在如圖1所示的局部坐標系下，懸臂拱的矢跨比 dg/lg通常都小于 1/10，可以將吊裝過程中的懸臂拱當成淺拱考慮[13]，得到考慮右端點縱向位移后拱橫向運動微分方程[14?15]：

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將式(1)中的第1式代入式(4)，得到：

式中：N為拱的初始軸向力；EgIg為拱的面內抗彎剛度；為拱在局部坐標系中的初始拱軸線方程；cg為彈性拱的結構阻尼系數；mg為拱的單位長度質量；EgAg為拱的抗壓剛度。

聯立式(3)和式(5)，即得到索拱組合結構耦合橫向運動方程。

2 索拱組合結構的內共振分析

在拱橋施工過程中的索拱組合結構中，扣索的自振頻率通常比彈性拱的自振頻率低很多，索拱之間相互激勵而產生的內共振往往是扣索的高階與彈性拱的低階振動，因而，在對索拱組合結構相互作用的內共振分析過程中，必須包括索拱的高階模態。下面對索拱耦合運動方程(3)和式(5)進行 Galerkin高階模態截斷，設

其中： φn(x)和?n(x)分別為索和拱的振型函數；qn(t)和( t )分別為索和拱的振動函數。

將式(6)代入式(3)和式(5)，在式(3)兩邊乘以 φi(x)并在[0, lc]內積分，在式(5)式兩邊乘以?i()并在[0, lg]內積分，利用振型函數的正交性，得到索拱組合結構

多階離散動力學方程：

在實際運算過程中，均取 i=n。對式(7)和(8)進行化簡，對式(7)兩邊同除以，對式(8)兩邊同除以，引入任意小的正數ε，并定義系數(見文獻[16])，代入式(7)和式(8)，可得到：

采用多尺度攝動方法尋找qn和的一致漸近解，引入快變時間尺度T0=t和慢變時間尺度T1=ε t ，設解的形式如下：

將式(10)代入式(9)，可以得到索拱組合結構的一階近似方程：

式(11)復數形式的解為：

將式(12)代入二階近似方程并整理得：

式中：cc為 c相應的共軛項。從式(13)可以看出：當時，索和拱之間存在相互作用的內共振；同時，由于索和拱的自振頻率相差很大，若進行低階模態截斷，則只有索和拱自身模態之間的亞諧波和超諧波內共振產生，索拱之間不會相互作用而產生內共振，但是，若考慮索和拱的高階模態，則在索的高階模態和拱的低階模態之間將產生內共振。因此，對索和拱組合結構體系進行相互作用的非線性動力學分析時，應進行高階模態截斷，而且隨著模態的增加，內共振模式將大大增加。

3 索拱組合結構內共振的數值模擬

為了證實所建立的索拱組合結構非線性動力學模型及分析理論的正確性，以某鋼管混凝土拱橋纜索吊裝施工過程中第1節段結構體系為數值研究對象，忽略扣塔振動的影響，建立索拱組合結構的非線性動力學力學模型(參考圖1)，索和拱的結構參數分別見表1和表 2。求解方程系數，可知該結構體系為弱非線性動力學問題。

表1 索的結構參數Table 1 Structural parameters of cable

表2 拱的結構參數Table 2 Structural parameters of the arch

給定索和拱的初始位移均為0.01 m，繪制索和拱的100 s時間歷程曲線，見圖2。從圖2可以看出：在非共振情形下，索和拱之間的振動相互耦合非常弱，索和拱的振幅都約等于初始位移，因此，若索拱組合結構的結構設計參數都處在結構的非共振區域以內，則索和拱的動力學特性可以單獨進行分析，可不考慮振動時索和拱之間的相互影響。

圖2 索拱組合結構非內共振情形下的時間歷程Fig.2 Time history of cable-stayed arch structure under non-resonance state

圖3 索拱組合結構內共振情形下的時間歷程Fig.3 Time history of cable-stayed arch under internal resonance state

從數值分析結果可知：在非內共振情況下，索和拱的最大振幅都與初始位移基本相同，分別為9.7 mm和 9.8 mm；而在內共振情況下，索的最大振幅達到60.5 mm，拱的最大振幅為9.9 mm。說明在內共振情況下，拱對索的激勵效果非常明顯，導致拉索產生大幅度振動，而索對拱的激勵很小，基本上可以忽略。其主要原因是索拱相互激勵的效果與索拱之間的單位質量比、抗壓剛度比及抗彎剛度比等有密切關系。

4 結論

(1) 利用索拱組合結構的連接條件及邊界條件，建立了索拱組合結構的非線性動力耦合運動學控制方程。

(3) 當索拱組合結構的結構設計參數都在非共振區域時，索和拱的動力學性質均可單獨進行分析，并可不考慮耦合作用。

(4) 當結構設計參數在索和拱的內共振區域時，在設計過程中，索與拱之間的相互耦合作用是不容忽視的關鍵問題。

(5) 在索拱內共振時，一般可以忽略索對拱的激勵，但不能忽略拱對索的激勵，其激勵效果與索拱之間的單位質量比、抗壓剛度比及抗彎剛度比等有關。

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