分數階傅里葉變換與虛擬陣列相結合的波達方向估計

金 翔,張天騏,侯瑞玲,高永升

(重慶郵電大學信號與信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400065)

0 引言

寬帶線性調頻(LFM)信號在通信、雷達、聲納、生物醫學以及地震勘測等系統中都有廣泛的應用,針對此類信號的波達方向(DOA)估計問題也日益受到人們的重視。時頻分析是處理非平穩信號的有效手段,Belouchrani和Amin等提出了空間時頻分布(spatial time-frequency distribution,STFD)的概念,在DOA估計中取得了優于傳統方法的性能[1-2]。然而,常規的算法可以實施的前提條件是入射信源之間弱相關或不相干,而實際的環境中,很多情況下會有相干信號,也就不能進行正確的估計。文獻[3]提出了時頻相干信號子空間法,實現了寬帶非平穩信號源的陣列信號DOA估計,但需要來波方向的初始估計,還存在穩健性不好和運算量巨大等缺點。文獻[4]提出了在分數階Fourier變換(FRFT)結合前后向平滑技術進行寬帶相干LFM信號的DOA估計,但此方法減少了陣列的孔徑,使N個陣元最多只能估計-1個相干信號,其精度等參數也存在一定的限制。為此,本文提出了FRFT與虛擬陣列相結合的相干LFM信號DOA估計方法。

1 寬帶LFM信號估計的基本概念

1.1 分數階Fourier變換的陣列信號分析

信號x(t)的分數階傅里葉變換定義為[5]:

信號x(t)的FRFT是線性變換,它和Wigner-Ville分布(WVD)的關系可解釋為時頻平面的旋轉算子,這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類信號。如圖 1所示,一個有限長 LFM信號的Wigner分布在時頻平面呈現為斜直線的背鰭形分布,因此,若在與該斜直線相垂直的FRF域上求信號的分數階Fourier變換,則在該域的某點將出現明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個時頻平面內,在任何的分數階傅里葉域上均不會出現能量聚集。因此,FRFT在某個分數階Fourier域中對給定的LFM信號具有最好的能量聚集[5]。

圖1 LFM信號的時頻分布及其在FRF域上的投影Fig.1 LFM signal in the Time-Frequency distribution and projection of FRF domain

由式(1)FRFT的定義,可知陣元信號sq(t)的p階FRFT為:

式中,T為觀測時間,在(α,u)平面上,運用分級計算迭代搜索方法對sp1q(u)進行峰值點的二維搜索,以提高FRF T的搜索效率,即確定分數階的搜索范圍(a,b),確定初始步長Vp1=0.1,估計出分數階的初始值為p1,再進行二次搜索范圍(p1-0.1,p1+0.1),確定初始步長Vp2=0.01,估計出分數階的初始值為p2,再進行三次搜索范圍(p2-0.01,p2+0.01),確定初始步長Vp3=0.001,直至達到所要求的精度。得到峰值點的位置αq和u1m,則可得信號的調頻斜率和初始頻率估計[5]

也就是說,當旋轉角度α=-arccot Kq時,sp1q(u)有最佳的能量聚集,LFM信號有最大的峰值為:

式中 ,aiq=exp(-2jπτiqu1msin αq),q=1,2,…,Q 。

由分數階Fourier域對應的寬帶LFM信號的方向向量 Ap,可得到天線陣列的觀測信號在分數階Fourier域矢量表達式

式中,

1.2 寬帶LFM信號的陣列模型

陣列模型為M個陣元的均勻線陣(ULA),陣元間距為d,如圖2所示。

圖2 均勻線陣結構示意圖Fig.2 The ULA and array model

假設有Q個寬帶LFM信號,入射角分別為θ1,θ2,…,θQ,Q ＜M。如果把第一陣元作為參考陣元,則第i個陣元上的觀測信號可以表示為:

式中 ,

1.3 虛擬陣列的定義[7]

虛擬陣列變換法的基本原理是每次將陣列等間距地向右平移一個等距d,依次形成第2,3,…,M′個陣列,如圖3所示。

圖3 虛擬陣列變換法原理圖Fig.3 Virtual array transformation action principle

2 FRFT結合虛擬變換法的寬帶相干LFM信號的DOA估計算法

空間平滑術是以損失陣列的孔徑為代價的,為估計Q個相干信號,陣列的最小陣元數必須大于2Q個,很明顯陣列的孔徑損失了一半。

現在我們把整個陣列等間距地向右平移一個d,則平移L-1次后,得第L(1≤L≤M′)個陣列協方差矩陣為:

式中,H表示轉置,σ2I為噪聲FRF域的協方差矩陣,G(L)表示Q×Q的對角矩陣的L次方,且

整個線陣的協方差矩陣定義為各子陣協方差矩陣Rp1,Rp2,…,RpM′的平均,也就是

式中,β=[β1β2…βQ]為一個行向量,所以有

這里 D=[β,Gβ ,…,G(L-1)β]。

由式(12)中的延時特性,很明顯,只要各個信號不是來自同一個方向,矩陣D便為滿秩,因而矩陣和矩陣都為滿秩,即

基于以上分析,可以總結分數階Fourier變換和虛擬陣列變換相結合的寬帶相干 LFM信號的DOA估計算法步驟如下:

1)對參考陣元上的接收相干信號進行分數階傅里葉變換;

2)確定FRFT域峰值點的位置和對應的方向向量;

3)用虛擬陣列變換算法解相干;

4)運用常規的MUSIC算法或ESPRIT算法進行DOA估計。

3 仿真實驗

由于MUSIC算法進行DOA估計時要進行空間譜峰搜索,相對計算量太大,而ESPRIT算法估計信號的DOA,將信號參數的搜索過程轉變為了計算過程,降低了運算量的同時減小了算法對硬件的要求。于是在下節仿真實驗二中,我們采用ESPRIT算法代替MUSIC算法進行仿真,以提高運算速度。

1)仿真實驗一

假設兩個有相同時頻分布的寬帶相干LFM信號 ,信號 1:s1(t)=A1exp(jπ0.1t+jπ0.001t2),入射角 θ1=30°;信號 2:s2(t)=A2exp(jπ0.1t+jπ 0.001t2),入射角θ2=70°。信號的幅度為 A1=2A2=1,快拍數N=200,SNR=2 dB,天線為均勻直線陣,且陣元數 M=9。分數階Fourier域的表示如圖4所示,從圖中可以看出,兩信號出現峰值時有相同的分數階p,兩信號不能進行分離。此時在分數階Fourier域進行前后向平滑技術處理,若取子陣元數為M0=6,則前后向平滑的次數為L=4。再用MUSIC算法對信號進行DOA估計,空間譜如圖5所示。若采用分數階Fourier變換和虛擬陣列的寬帶相干LFM信號的DOA估計算法進行DOA估計,結果如圖5中的實線所示。

圖4 分數階Fourier域的相干寬帶 LFM信號Fig.4 Wideband coherent LFM signals in FRF domain

圖5 基于FRFT的三種算法對相干信號源的估計Fig.5 The estimation of coherent signals source with three algorithms based on FRFT

從圖5中可以看出,空間平滑技術的性能要優于未來經過處理的FRFT的寬帶相干LFM的MUSIC算法,而用虛擬陣列空間變換法的分數階Fourier域的寬帶相干LFM信號的DOA估計算法比空間平滑技術要好。為了更進一步地說明問題,同時提高計算速度,我們進行仿真實驗二。

2)仿真實驗二

設和仿真實驗一具有相同參數的信號,輸入SNR范圍為-4～10 dB,間隔2 dB,分別運行400次Monte Carlo實驗,圖6、圖7分別為信號1和信號2的方向估計角均方誤差隨信噪比變化的特性圖。

圖6 信號源1(30°)均方誤差隨信噪比變化圖Fig.6 MSE of signal 1(30°)

圖7 信號源2(70°)均方誤差隨信噪比變化圖Fig.7 MSE of signal 2(70°)

從圖6和圖7可以明顯看出:虛擬空間陣列變換的FRFT的EPRSIT算法和空間平滑技術的FRF T的EPRSIT算法都可以估計寬帶相干LFM信號DOA,但前者的性能特性明顯優于后者,并且隨著信噪比的降低,前者比后者的優勢更加明顯。

4 結論

本文提出了一種基于分數階傅里葉變換和虛擬陣列變換法相結合的寬帶相干 LFM信號的DOA估計算法。該方法首先將天線陣的觀測信號變換到分數階Fourier域(FRF域),然后用虛擬陣列變換法對相干信號進行解相干,再用ESPRIT算法進行波達方向估計。理論分析和仿真結果表明:與空間平滑技術的FRFT的EPRSIT算法相比,在低SNR下,性能特性明顯要好,并且用分級計算迭代法大大減少了計算量。同時,不損失陣列的孔徑,使 N個陣元可估計相干信號源數目達N-1個,提高了陣元數的利用率。

[1]Belouchrani A,Amin M G.Time-frequency music[J].IEEE Signal Processing Letters,1999,6(5):109-110.

[2]Amin M G.Spatial time-frequency distributions for direction finding and blind source separation[J].In Proc SPIE,1999,37(23):62-70.

[3]張艷紅,齊林,穆曉敏,等.基于分數階Fourier變換的WLFM信號DOA估計[J].信號處理,2005,21(4):57-60.ZHANG Yanhong,QI Lin,M U Xiaomin,et al.DOA estimation of WLFM signal based on fractional Fourier transforms[J].Signal Processing,2005,21(4):57-60.

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[5]陶然,齊林,王越.分數階 Fourier變換的原理與應用[M].北京:清華大學出版,2004.

[6]ZHANG Yanhong,QI Lin,M U Xiaomin,et a1.2-D DOA estimation of wideband LFM signal in fractional Fourier domain[C]//Proceedings of the First International Conference on Innovative Computing,Information and Control(1CICIC'06).Beijing,China:[s.n.],2006,3:6-9.

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