殼結構聲場耦合分析的光滑有限元—有限元法

姚凌云 于德介 臧獻國

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

殼體結構廣泛應用于汽車車身、飛機、潛艇等工程結構中,其結構—聲場耦合產生的振動與噪聲問題引起了越來越多的關注。殼體結構在激勵作用下會產生振動,并與其周圍的聲場產生耦合,從而向聲場輻射噪聲。殼體的結構—聲場耦合分析在工程實際中有著非常重要的作用,對殼體結構的噪聲與振動控制研究有十分重要的意義。殼體的結構—聲場耦合系統是結構和聲場相互作用的復雜動力學系統,包括殼體結構域、聲場域,以及兩個域之間的耦合作用。快速、準確地預測其結構—聲場耦合系統的聲學響應是近年來結構噪聲控制研究領域的熱點之一。

目前,殼體的結構—聲場耦合的分析方法有解析法和數值法,其中數值法主要包括有限元—有限元法[1-5](finite element method,FEM)、有限元(FEM)—邊界元法[6-7](boundary element method,BEM)、有限元—無限元法[8](infinite element method,IEM)等。FEM/FEM和FEM/BEM是結構—聲場耦合分析中最常用的計算方法,在一些大型的商業軟件如Nastran、Sysnosie等中應用廣泛。與FEM/FEM相比,FEM/BEM能減少模型的單元數量,但其矩陣為非稀疏陣,并不一定能夠提高計算效率,對于內部問題,FEM/FEM計算效率往往更高一些。FEM/FEM和FEM/BEM主要用于結構—聲場耦合低頻計算且受模型網格尺寸特別是結構網格尺寸的影響較大。

光滑有限元法(smoothed finite element method,SFEM)是 Liu[9-10]針對有限元法過于“剛硬”的問題,將標準的有限元法與無網格中分區應力光滑技術相結合提出來的。SFEM不僅解決了四邊形單元扭曲嚴重時計算誤差大的問題,還能提高計算效率和計算精度。Cui等[11]將SFEM應用到解決板殼的線性和幾何非線性問題中,結果表明SFEM具有很好的穩定性和精度。Dai等[12]將SFEM應用到二維動力學問題中分析結構自由振動和強迫振動問題。Nguyen等[13]將SFEM應用到Mindlin—Reissner板的力學分析中,用曲率光滑方法(curvature smoothing method,CSM)計算板的彎曲剛度矩陣,結合MITC4單元解決了剪切自鎖問題,提高了計算精度。Nguyen等[14]在上述工作的基礎上應用SFEM分析殼結構的靜力學特性。

為了提高結構—聲場耦合分析精度,降低結構—聲場耦合分析中對結構網格的尺寸要求,本文將SFEM推廣到殼結構動力學分析中,結合流體FEM分析殼結構—聲場耦合問題,并推導了SFEM/FEM計算殼的結構—聲場耦合公式。運用SFEM/FEM分析結構—聲場耦合系統時,殼體結構域應用分區應力光滑技術對彎曲應力和膜應力進行光滑處理;剪應力由MITC單元應用獨立插值函數獲得[15];在流體域應用傳統的FEM進行分析。由于SFEM/FEM繼承了SFEM計算簡單、精度高的特點,在分析殼結構—聲場耦合時比FEM/FEM的精度和計算效率更高,對結構網格尺寸要求更低。以六面體結構—聲場耦合模型和微車內聲固耦合模型為數值算例,研究結果表明:與 FEM/FEM相比,SFEM/FEM的精度和效率更高,對網格尺寸的質量要求更低,能很好地應用于殼結構—聲場耦合分析中,具有良好的工程應用前景。

1 基于SFEM/FEM的結構—聲場耦合分析

1.1 殼結構的SFEM模型原理

根據第一剪切變形理論,如圖1所示,殼結構的位移分量u、v和w可分別表示為

式中,u0、v0、w0分別為殼中面 x、y、z三個方向的位移;θy、θx分別為xz和yz平面內的轉角。

定義ε為應變矢量:

式中,εm為膜應力矢量;εb為彎曲應力矢量;εs為剪切應力矢量。

殼結構的彎曲剛度本構矩陣Db、橫向剪切剛度本構矩陣Ds和膜剛度本構矩陣Dm可分別表示為

式中,E為彈性模量;ν為泊松比;kτ為剪切修正系數;t為殼單元厚度。

根據標準的FEM,將殼結構域 Ω離散為Ne個四邊形單元,包含Nd個節點。設殼單元節點位移矢量 u=(u,v,w,θx,θy)T,則單元中面上的位移近似為

式中,dI為I節點的位移;NI為形函數。

將SFEM四邊形單元劃分為SC個光滑域,以滿足Ω1∪ Ω2∪ …ΩSC=Ω和 Ω1∩ Ω2∩ …ΩSC=?,其中 ?表示空集,研究表明光滑域的最優個數為3[9]。節點處的形函數值為(N1,N2,N3,N4);積分點處的形函數值從光滑域邊界上線性插值得到[12]。圖 2所示為單元光滑域(smoothing cells,SC)劃分及其形函數值(SC=1,4)。

應用光滑處理技術對殼單元的第C個光滑域進行光滑處理,光滑膜應力和光滑彎曲應力

式中,H(x)為光滑函數。

在本文中采用常值光滑函數:

將式(6)、式(8)代入式(7),并利用散度定理,有

式中,ΓC為光滑域的邊界;nC為光滑域邊界的外法向單位矢量。

其中,微分算子為

光滑膜應力矩陣為

采用高斯積分對上式在光滑域 ΩC的邊界ΓC上求積,得

類似上面的推導,有光滑彎曲應力:

針對剪切項,剪切應變可寫為

為了消除剪切自鎖,本文應用MITC4單元中的辦法[15]處理剪切項。不考慮結構阻尼,離散殼結構動力學方程的光滑Galerkin弱形式為

式中,ρ為材料密度;ta為表面牽引力;ba為體積力;u¨為加速度。

將式(5)、式(6)、式(9)、式(13)以及式(15)代入式(17),得殼結構離散后動力學方程:

將u=Uejωt代入式(19),得頻率響應分析表達式:

Ms采用集中質量矩陣形式表示:

入河排污口主要分布3大水系11條河流。由于各水系自然地理環境不同，經濟發展程度有很大差距，工業布局在各水系差異很大，因此排污口在各水系間分布也存在相當大的差異。本次調查分布在3大水系的排污口，河北沿海諸河水系排污口最多，為20個，占排污口總數64.5%；灤河水系4個，占排污口總數12.9%；薊運河水系7個，占排污口總數22.6%。各水系入河排污口分布情況如表2。

式中,AC,I為節點I相對應的第C光滑域面積;mI為節點I相對應的第C光滑域的質量矩陣;ρs為結構密度。

載荷矢量Ff和Fb可表示為

1.2 流體FEM模型

殼結構振動在理想聲場介質中引起的小振幅簡諧聲波、聲壓滿足Helmholtz波動方程:

式中,p為聲壓;ω為圓頻率;k為波數,k=ω/c;ρf為聲場介質密度;u˙f為邊界法向速度。

流體的伽遼金形式為

式中,qf為單位體積的附加載荷。

按照FEM方式將流體域離散為六面體網格,并采用標準的插值形函數:

式(26)可表示為

式中,Kf為聲學剛度矩陣;Bf為聲學梯度矩陣;Mf為質量矩陣;p為節點的聲壓矢量;Fs為載荷矢量。

1.3 結構—聲場耦合模型

為實現結構SFEM模型和聲場FEM模型耦合,在耦合界面上應滿足位移和壓力連續的條件[16]。引入界面法向n=nf=—ns,位移連續條件和結構應力σ與聲壓p的關系可表示為

其中,nf為耦合界面聲場法向矢量;ns為耦合界面殼結構法向矢量。

由式(23)可知,聲場作用在殼結構耦合面Ωsf上的載荷Ff為

由式(28)可知,結構作用在流體耦合面 Ωsf上的載荷為

式中,L為引入耦合矩陣。

結合結構域的SFEM模型和流體域的FEM模型,殼結構耦合系統方程為

從上面的推導可以看出:在分析殼結構—聲場耦合問題時,SFEM/FEM與傳統的FEM/FEM[4]相似;由于SFEM/FEM在結構域分析時應用應力光滑處理技術,其計算過程相對簡單,其計算結果的精度比傳統的FEM/FEM高。

2 數值算例

為驗證用SFEM/FEM分析結構—聲場內部問題的有效性和準確性,本文分別以六面體的結構—聲場耦合模型和微車聲固耦合簡化模型為研究對象進行分析。

2.1 六面體聲場—結構耦合分析

以六面體附帶矩形平面殼的結構—聲場耦合模型為研究對象,如圖3所示。六面體內為空氣域,上表面為矩形平面殼結構,其邊界角點固定約束,其他表面為剛性邊界。矩形平面殼材料參數為:彈性模量E=3.0×106MPa,泊松比 μ=0.3,密度 ρs=7 800kg/m3,六面體長、寬、高均為400mm,殼結構厚度為1mm。空氣聲學參數為:密度ρf=1.25kg/m3,聲速c=343m/s。施加在中心點+Z方向的諧波激勵力幅值為1N。域點1和2為殼中心+Z方向,坐標分別為(200,200,50)mm和(200,200,100)mm。

為了評價SFEM/FEM分析結構—聲場耦合問題的效果,本文計算了域點1和2的聲壓頻率響應,頻率范圍為 20～220Hz,并給出了一般FEM/FEM計算結果作為對比。一般FEM/FEM是指運用傳統的有限元耦合方法計算殼結構—聲場耦合問題,即參考文獻[4]中所提及的方法。本文中SFEM/FEM和一般FEM/FEM都是通過MATLAB程序實現,由于無法獲得準確結果,本算例應用Nastran軟件計算該實例高網格密度模型的近似精確解作為參考值,Nastran軟件所采用的計算方法也是FEM/FEM。由于MATLAB程序與Nastran軟件在計算時間上沒有可比性,本文只給出了計算模型的單元數目和類型,如表1所示。

表1 模型參數

圖4和圖5所示分別表示域點1和2的聲壓頻率響應曲線。其中,實線表示參考值,點劃線表示SFEM/FEM的計算結果,虛線為FEM/FEM的計算結果。從圖中可以看出:

(1)與FEM/FEM一樣,SFEM/FEM使用網格尺寸較大模型時與參考值相差較大,但聲壓頻率響應曲線趨勢跟參考值相同。

(2)與FEM/FEM相比,SFEM/FEM的計算結果更接近參考值。這表明SFEM/FEM比FEM/FEM更精確,對粗糙網格模型的計算結果更好。

2.2 微車結構—聲場耦合分析

以微車內聲腔附帶頂蓋結構的簡化模型為結構—聲場耦合分析對象,如圖6所示。微車內聲腔為空氣域,上表面為頂蓋耦合面,其他表面為剛性邊界無耦合。頂蓋結構簡化為殼結構,考慮到實際的頂蓋含加強筋結構以增加頂蓋剛度,結構邊界角點和邊緣固定約束,其材料參數為:彈性模量E=3.0×106MPa,泊松比 μ=0.3,密度 ρs=7800kg/m3,殼結構厚度為1mm。空氣聲學參數為:密度 ρf=1.25kg/m3,聲速 c=343m/s。施加在頂蓋中心點+Z方向的諧波激勵力幅值為1N。

應用SFEM/FEM分析微車的結構—聲場耦合問題時,駕駛員耳旁處的聲壓頻率響應曲線是十分重要的,頻率范圍為20～320Hz。域點1和2分別表示駕駛員耳旁處響應點位置。應用2.1節相同的分析過程進行分析,其模型參數如表2所示。

表2 模型參數

圖7、圖8所示分別表示域點1和2的聲壓頻率響應曲線。其中,實線表示參考值;點劃線表示SFEM/FEM的計算結果;虛線為FEM/FEM的計算結果。從圖中可以看出:對于相同網格模型而言,SFEM/FEM在分析微車結構—聲場耦合問題時具有比FEM/FEM更高的精度,其結果更接近參考值。

3 結論

(1)SFEM/FEM能很好地應用于殼的結構—聲場耦合分析中,其計算精度和效率比FEM/FEM要高。

(2)在分析殼的結構—聲場耦合問題時,應用SFEM/FEM對結構域單元網格尺寸要求比FEM/FEM更低;SFEM/FEM計算較大網格尺寸模型時,能獲得比一般FEM/FEM更高的計算精度。因此,SFEM/FEM分析殼的結構—聲場耦合問題可以節約前處理分析時間,具有良好的工程應用前景。

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