高次駐波諧振定量檢測彈性板厚度的方法

王禹然，張 輝，張淑儀

（南京大學 聲學研究所 近代聲學實驗室，南京 210093）

提出一種基于高次駐波諧振的測量方法，研究彈性板厚度對具有最大有效機電耦合系數的諧振模式頻率偏移的影響，并定量檢測彈性板厚度的變化。此方法可以對金屬、非金屬和復合材料等進行無損檢測，且設備簡單、易于操作。

首先介紹高次駐波諧振的理論；其次對具有最大有效機電耦合系數的模式進行分析，給出該模式數的修正公式；最后建立該模式諧振頻率偏移與檢測彈性板厚度之間的關系。以ZnO 為壓電片，針對不同聲阻抗的彈性板厚度變化進行數值計算與研究。

1 高次駐波諧振理論

將厚度膨脹振動的壓電片置于被檢測彈性板之上，如果兩者之間耦合緊密，則構成高次駐波諧振結構，如圖1所示。其中壓電片和其上下表面的兩個電極構成的換能器在彈性板中激發厚度膨脹振動聲波，當激發的聲波半波長的整數倍與彈性板厚度相等時，將在彈性板中形成駐波諧振。一般情況下，彈性板的厚度較壓電片厚很多，所以聲波能量主要集中于板中。這樣，檢測系統的諧振特性將受到彈性板材料、表面狀況和厚度等的影響。

圖1 片狀換能器測彈性板厚度變化的系統

上述高次駐波諧振結構可以利用Mason等效電路理論［1］進行分析。此檢測系統的壓電換能器輸入阻抗Zin表示為［2］：

根據式（1），針對厚度為0.05mm 的PZT 壓電片和厚度為2.4mm 的不銹鋼彈性板，計算其輸入電阻抗曲線，如圖2 所示。可以看出，隨著頻率增加，激發出許多高次諧振模式。每一個諧振模式包括并聯諧振頻率fp和串聯諧振頻率fs。為簡化分析，引入并聯諧振頻率間隔Δfp作為分析參量，具體定義為：

圖2 輸入電阻抗曲線

式中fp（m＋1）和fp（m）分別是高次駐波諧振系統在第m＋1和第m階模式的并聯諧振頻率。

式中ΔfN指并聯諧振頻率間隔分布中的第一個穩態區域中間模式（mN）所對應的并聯諧振頻率間隔，γ≈π；ΔfT指并聯諧振頻率間隔分布中的第一個瞬態區域中間的模式（mT）所對應的并聯諧振頻率間隔，γ≈0.5π；而Δf0＝Vsb／2lsb，指彈性板厚度膨脹振動時的并聯諧振頻率間隔。

以下電極的二分之一處為分界線，將高次駐波諧振系統分為兩層，引入上下兩層的半波長諧振頻率比例因子R。當R足夠大時，穩態區域和瞬態區域中間的模式可近似表示為：mN＝round（R），mT＝round［（R－1）／2］，其中R為［2］：

實際測量中，為避免壓電片激發帶寬的影響，通常采用壓電片基模諧振頻率附近區域的駐波諧振模式。在文獻［4］的研究中，已經指出最大有效機電耦合系數對應的高次駐波諧振模式在第一穩態和瞬態區域附近，且在測量中該模式具有較大的阻抗幅值，因此該模式最適宜用以研究彈性板厚度的變化。

2 彈性板聲阻抗對（max）對應諧振模式的影響

最大有效機電耦合系數所對應的諧振模式具有較高的阻抗幅值，且容易激發而獲得較高的檢測靈敏度，所以利用其作為檢測模式［5］。Wang［6］等人分析了具有最大有效機電耦合系數的諧振模式，重點研究其模式數的變化規律。

如果根據彈性板和壓電片聲阻抗比zb＝（ρsbVsb）／（ρV）來確定對應模式的次數，可有以下三種情形：①zb?1，為硬基片條件落在瞬態區域中間，即mT附近，對應頻率約為f＝V／4l。②zb?1，為軟基片條件落在穩態區域中間，即mN附近，對應頻率約為f＝V／2l。③zb在1 附 近 時（max）對應的模式數則落在mT和mN的之間。所以，只有“很硬”或“很軟”的壓電片和彈性板組合對應的模式次數可以用mT或mN近似表示外，其它情形下，將難以估算對應的模式次數。

利用式（7），針對壓電片材料為ZnO 和PZT 的片狀換能器在不同聲阻抗的彈性板上的情形進行數值計算。計算中片狀換能器厚度取1 mm，上下電極厚度取為1μm 的Al電極，彈性板厚度的選取滿足R≈50，相關材料的參數如表1 所示，其中PZT材料的制備方法為sol－gel［6］。相關計算結果如圖3，圖中圓圈點表示Wang等人推薦的估算方法得到的對應的模式次數，而方塊點表示采用修正公式（7）得到的對應的模式次數。根據計算結果可知，加入zb參量后的修正公式估算得到的模式次數，更接近或等于大量數值計算得到的（max）對應的模式次數。修正前后的估算公式所得到的模式次數與k2eff（max）對應的模式次數的相對誤差如表2所示。可以看到修正后的相對誤差明顯小于修正前的相對誤差，這說明修正公式是有效的。

表1 壓電片、彈性板和電極的材料參數

表2 修正前后的估算得到的模式次數與k2eff（max）對應的模式次數的相對誤差

3 彈性板厚度變化與（max）對應諧振模式Δfp 間的關系

由于彈性板厚度的變化會導致并聯諧振頻率發生偏移，通過建立它們之間的解析關系可以定量表征彈性板的厚度變化。根據并聯諧振頻率間隔分布理論，在穩態區域，已知［2］：

在片狀換能器中，若電極的厚度相對壓電片而言很薄，則忽略電極的影響。在模式數尚未發生跳變的情況下，推導彈性板厚度變化Δl時，并聯諧振頻率的偏移為：

類似的，在瞬態區域，已知［2］：

忽略電極的影響，并聯諧振頻率的偏移為：

式（9）和（11）說明，彈性板厚度變化Δl所引起的并聯諧振頻率偏移Δfp與Δl成線性關系。因此，若選擇待測彈性板作為基片層，選定已知厚度的彈性板作為參照基準，測量待測彈性板與基準彈性板在對應頻率的差值，就可以間接得到待測板與基準板的相對厚度變化。

針對具有最大有效機電耦合系數的諧振模式，采用1mm 厚ZnO 作為壓電片，熔融石英、釔鋁石榴石、不銹鋼作為彈性板，研究彈性板厚度增加時厚度變化與之引起的并聯諧振頻率偏移的關系，相關計算結果如圖4所示。數值計算表明，基準彈性板厚度滿足R≈50時對應的并聯諧振頻率fp每偏移數十赫茲可定量檢測出1μm 厚的彈性板厚度變化。

4 結論

［1］ Lakin K M，Kline G R，McCarron K T.High－Q microwave acoustic resonators and filters［J］.Microwave Theory and Techniques，IEEE Transactions，1993，41（12）：2139－2146.

［2］ Zhang Y X，Wang Z Q，Cheeke J D N.Resonant spectrum method to characterize piezoelectric films in composite resonators［J］.Ultrasonics，Ferroelectrics and Frequency Control，IEEE Transactions，2003，50（3）：321－333.

［3］ IEEE Standard on Piezoelectricity ANSI／IEEE Std 176－1987，1988［S］.

［4］ Zhang H，Zhang S Y，Zheng K.Electrode effects on general modes in high－overtone bulk acoustic resonators［J］.Ultrasonics，2006，44（S1）：e737－e740.

［5］ Zhang H，Zhang S Y，Fan L.Effects of thickness deviation of elastic plates in multi－layered resonance systems on frequency spectra［J］.Chinese Physics Letters，2009，26（8）：4301

［6］ Pao Shih－Yung，Chao Min－Chiang，Wang Zuoqing，et al.Analysis and experiment of HBAR frequency spectra and applications to characterize the piezoelectric thin film and to HBAR design［C］.Frequency Control Symposium and PDA Exhibition，2002.IEEE International：2002：27－35.