采用鏡像延拓和RBF神經網絡處理EMD中端點效應*

韓建平,, 錢 炯, 董小軍

(1蘭州理工大學防震減災研究所 蘭州,730050) (2同濟大學土木工程防災國家重點實驗室 上海,200092)

引 言

希爾伯特-黃變換 (Hilbert-Huang transform,簡稱 HHT)在海洋、地震、生物和結構健康監測等領域的應用中顯示出了獨特的優勢[1-4]。 HHT包含兩個基本過程:經驗模態分解(empirical mode decomposition,簡稱 EMD)和Hilbert變換。通過 EMD可將復雜信號分解成有限個固有模態函數(intrinsic mode function,簡稱 IMF)之和,然后對各個 IMF進行 Hilbert變換,研究信號的時頻能量分布,得到的Hilbert譜在聯合的頻率-時間域中描述原始信號具有較高的時頻分辨率[5]。國內外學者對EMD邊界處理方法作了許多研究,主要有鏡像延拓法[6]、神經網絡預測法[7-8]、AR預測法[9]、多項式外延法[10]及波形特征匹配延拓法[11]等。

本文選擇鏡像延拓法和徑向基函數(radial basis function,簡稱 RBF)神經網絡預測法作為 EMD中邊界處理的方法,對一組簡單數值模擬信號和一組 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗實測加速度數據進行了處理和分解,并對這兩種邊界處理方法的效果進行了討論。

1 端點效應的產生及影響

經驗模態分解中,求包絡平均是通過對原數據中的上極值點和下極值點分別進行樣條插值擬合,然后再平均。在樣條插值時,由于端點處極值的不確定性,每一次樣條插值都有擬合誤差,誤差不斷累積,分解出來的第l個 IMF端點處會有較大的誤差。第 2個 IM F的分解是建立在原始數據減去第 1個IMF的殘余項的基礎上進行的,由于第 1個 IM F的誤差,使殘余項也產生誤差,導致分解的第 2個 IM F產生更大的誤差。依此類推,隨著分解的進行,誤差就會由端點處向內逐漸傳播,最后在嚴重的情況下會使分解的數據完全失去意義[8]。數值仿真信號的分解可以明顯地反映端點效應的影響,如下

如圖1所示,該數據序列只存在3個極大值點和4個極小值點,所得上、下包絡線均出現失真,尤其是上包絡線在信號兩端出現巨大的失真。同時,由于數據序列很短,由端點處造成的包絡誤差已經“污染”到整個數據序列。

圖2是未對原始信號x(t)進行邊界處理時,通過 EMD得到的各階 IM F分量與各自對應的真實信號的對比。分解得到的各階IMF分量與真實信號相比,均出現了偏差,尤其是低頻分量,偏差已經非常大,未分解出第3階分量。由于三次樣條插值時需要用到前后各兩個臨近點,利用三次樣條函數進行曲線擬合出現這樣的問題是很自然的,解決的惟一途徑是在數據序列的兩端各增加一個或多個極大值和極小值。

圖1 原始數值模擬信號及其上、下包絡線

圖2 無邊界處理的數值模擬信號 EMD分解

2 鏡像閉合延拓

根據鏡像的對稱映射特點,為盡量減少鏡像的副作用,將鏡子放置在信號具有對稱性極值所在位置,首先繪出信號左、右兩端的一段曲線及相應的極值,根據曲線的分布特征,決定放置鏡子的位置。如在從信號左邊起向右的第l個極值處和從信號右邊起向左的第r個極值處分別放置兩面平面鏡,把鏡內的信號向外進行映射,得到序列長度為兩倍于鏡內信號長度的周期性信號。經鏡像延拓后的信號不含端點(具有周期性)。由于信號的閉合性,在后續的EMD過程中則不會遇到端點的延拓問題。因此,鏡像閉合延拓法可用于處理 EMD的端點效應。

圖3為數值仿真信號經過鏡像延拓法處理后的EMD結果。可以看出,采用鏡像延拓法對原始信號進行處理后可以分解得出3階 IM F。其中,第 1階為高頻,IMF分量與真實信號偏差很小,基本上與原始信號重合;而后 2階低頻的 IM F分量仍存在一定的偏差,但分解效果明顯好于無邊界處理時的分解。

圖3 采用鏡像延拓處理后的數值模擬信號的 EM D

3 基于RBF神經網絡的數據序列延拓

采用 RBF神經網絡,可以根據整個時間序列的表現特性以及時間序列在端點的具體形式對其加以延拓,在數據兩端延拓出極值點。

首先,把相鄰的 50個數據作為輸入向量,與之相連的1個數據作為輸出向量,形成訓練樣本。本文一共選擇了 850個訓練樣本,將其輸入到網絡中以訓練網絡,同時選取預測誤差最小的擴展常數來調試網絡。圖4表明 851個內推值與原始信號基本重合,然后每次將前一次預測的值重新加入網絡學習,在此基礎上預測后一個值,不斷地重復學習預測,最終可以在數據序列的兩端延拓出極大值點或極小值點,如圖 5所示。

圖4 RBF神經網絡對數值模擬信號的預測

圖5 RBF神經網絡延拓后的數值模擬信號

利用基于 RBF神經網絡延拓得到的數據序列與原始信號構成一個新的信號,EMD分解過程中得到的包絡線如圖 6所示。與原信號包絡圖的對比表明,經 RBF神經網絡延拓后,三次樣條插值得到的包絡圖失真現象得到了明顯的改善。利用鏡像法處理后的分解結果如圖 7所示,與圖 3相比,較好地分解出了全部 3個 IMF分量,同時各階 IMF分量與真實信號的偏差明顯減小,分解精度大為提高。

圖6 經 RBF神經網絡預測和鏡像延拓處理后信號的上、下包絡線

圖7 經 RBF神經網絡預測和鏡像延拓處理信號的 EM D分解

4 結構實測振動信號的處理與分解

選用同濟大學土木工程防災國家重點實驗室完成的單跨 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗所得的加速度數據作為復雜信號,來驗證本文提出方法的有效性。某工況下結構頂層X方向一測點在 El Centro地震波激勵下的實測加速度信號如圖 8所示[12]。根據 Fourier分析結果,選取合適的帶通濾波頻率對原始數據進行濾波。濾波后的加速度信號如圖 9所示。

圖8 某測點加速度響應原始信號

圖9 濾波后的加速度響應信號

利用 RBF神經網絡對濾波后的信號進行延拓,把相鄰的 50個數據作為輸入向量,與之相連的1個數據作為輸出向量,形成訓練樣本;選取預測誤差最小的擴展常數來調試網絡,選擇得到2 638個內推值與濾波后的信號基本重合,如圖 10所示。基于同樣的方法預測出信號前后未知的100個數據,圖 11為延拓后的信號。未進行邊界處理、直接對濾波后的加速度響應信號的 EMD結果如圖12所示。采用鏡像法,對經 RBF神經網絡延拓后信號的 EMD結果如圖13所示。

圖10 RBF神經網絡延拓后的加速度響應信號

圖11 RBF神經網絡對濾波后加速度響應信號的預測

圖12和圖13的對比表明,信號未進行邊界處理而分解出來的 IM F分量只有 4個,且各個 IMF分量的端點都有失真的現象;而經過 RBF對信號延拓、再采用鏡像法處理后的分解比較完全,一共分解出了7個 IMF分量,端點失真現象明顯減弱。

5 結 論

本文在探討端點效應出現原因的基礎上,提出采用鏡像法和 RBF神經網絡延拓法處理 EMD中的端點效應問題,并利用這些方法對一組數值仿真信號和 12層鋼筋混凝土框架模型振動臺試驗實測加速度記錄進行了處理及分解。結果表明,這兩種方法基于邊界兩端預測數據,可以抑制邊界效應對分析信號的影響,在一定程度上都提高了 EMD的分解效果。在處理簡單周期信號中,利用鏡像延拓、RBF神經網絡預測或先用 RBF神經網絡預測、再采用鏡像延拓處理信號都是有效的。對于復雜信號,僅采用RBF神經網絡延拓原始信號對減弱端點效應的影響沒有明顯改進;而對信號經濾波后先利用 RBF神經網絡延拓,再利用鏡像法進行處理,可以明顯減弱端點效應的影響。

圖12 無邊界處理的加速度響應信號 EM D分解

圖13 經 RBF神經網絡預測和鏡像延拓處理的濾波后加速度響應信號的 EM D分解

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