指數函數與對數函數圖像的兩類交點

高煥江

(邢臺醫學高等專科學校數學教研室,河北 邢臺 054000)

指數函數與對數函數圖像的兩類交點

高煥江

(邢臺醫學高等?？茖W校數學教研室,河北 邢臺 054000)

用分析方法討論兩個與指數函數、對數函數有密切聯系的函數的性質,給出了同底指數函數與對數函數圖像的兩類交點的存在性證明,從一個新的角度揭示指數曲線與對數曲線的位置關系.

指數函數;對數函數;導數;斜率;交點

根據指數函數與對數函數的性質可知,指數曲線y=ax與對數曲線y=logax(a＞0且a≠1)的交點可以分為兩類:一類在直線y=x上,一類關于直線y=x對稱.

1 第一類交點

由指數函數和對數函數的性質可知,指數曲線y=ax與對數曲線y=logax在直線y=x上有無交點取決于方程ax=x(x＞0)有無實數根,并且有交點時交點的個數取決于方程ax=x(x＞0)的實數根個數.為考察方程ax=x有無實數根以及有實數根時有幾個實數根,對方程式ax=x兩邊取對數,得xlna=lnx,即有從而問題轉化為討論函數在區間上的(0,+∞)性態.

當0＜x＜e時,f?(x)＞0,曲線f(x)在區間(0,e)內單調上升;當x＞e時,f?(x)＜0,曲線f(x)在區間(0,+∞)內單調下降;從而f?(x)在x=e處取得極大值f(e)=ee-1(因為x0是f(x)在區間(0,+∞)內的唯一駐點,此極小值也是最小值).

由以上討論即知:

(1)當a＞ee-1時,直線y=a與曲線無交點,從而方程無實數解,此時曲線y=ax與y=logax在直線y=x上無交點.

(2)當a=ee-1時,直線y=a與曲線有且只有一個交點,從而方程有唯一實數根,此時曲線y=ax與y=logax在直線y=x上有唯一交點,更進一步還可知y=(ee-1)x與y=elnx的這個唯一交點為(e,e),兩曲線在點(e,e)處的斜率都是1,故a=ee-1時兩曲線相切于直線y=x.

(3)當1＜a＜ee-1時,直線y=a與曲線有兩個交點,一個交點在區間(0,e)內,另一個在區間(e,+∞)內,方程有兩個實數根,此時曲線y=ax與曲線y=logax在直線y=x上有兩個交點.

2 第二類交點

2.1 引理及其推論

函數q(x)=xax(lna)2(x＞0)是指數函數y=ax的導函數y′=axlna與對數y=logax(x＞0)的導函數y′=的商,通過對這個函數的研究可以揭示對數曲線上某一點的斜率與指數曲線上對應點的斜率之間的關系.

引理若0＜a＜1,則q(x)=xax(lna)2(x＞0)具有如下性質:在區間(0,logae-1)內單調增加,在區間(logae-1,+∞)內單調減小,在x0=logae-1處取得最大值q(x0)=-e-1lna;圖像在區間(0,logae-2)上是凸的,在區間(logae-2,+∞)上是凹的,拐點為值域為區間(0,-e-1lna].

證明q(x)=xax(lna)2(x＞0)的導數q′(x)=(lna)2(ax+xaxlna)=ax(lna)2(1+xlna)(x＞0).

令q′(x)=0,此方程在0＜a＜1時存在唯一實數根,解得駐點

q"(x)=ax(lna)3(2+xlna),令q"(x)=0,此方程在0＜a＜1時存在唯一實數根,解得logae-2.

當0＜a＜1時,函數q(x)=xax(lna)2(x＞0)的示意圖如圖1所示.

推論Ⅰ當e-e＜a＜1時,對數曲線y=logax上任一點的斜率都小于指數曲線y=ax上對應點的斜率.

這是因為,當e-e＜a＜1時,-e＜lna＜0,0＜-e-1lna＜1,說明在區間(0,+∞)內q(x)的最大值是一個小于1的正數,故對任意x＞0都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2,由xlna＜0,得

推論Ⅱ當a=e-e時對數曲線y=logax上除點以外的任一點的斜率都小于指數曲線y=ax上對應點的斜率.

這是因為,當a=e-e時,lna=-e,-e-1lna=1,說明在區間(0,+∞)內q(x)的最大值是1(此時q(x)的最大值在處取得,y=logax在處的函數值是故對任意x＞0且都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

推論Ⅲ當0＜a＜e-e時,對數曲線y=logax與指數曲線y=ax僅在兩個特定點x1、x2處的斜率相等;曲線y=logax在區間(0,x1)和(x2,+∞)內任一點的斜率都小于曲線y=ax上對應點的斜率;曲線y=logax在區間(x1,x2)內任一點的斜率都大于曲線y=ax上對應點的斜率.其中x1、x2是方程xax(lna)2=1的兩個不等實數根,且

證明當0＜a＜e-e時,lna＜-e,-e-1lna＞1,這說明q(x)=Xax(lna)2(x＞0)在區間(0,+∞)內的最大值是一個大于1的正數.

令q(x)=1,即xax(lna)2=1,由引理知q(x)在區間(0,logae-1)內單調增加,函數值的取值范圍是區間(0,-e-1lna);q(x)在區間(logae-1,+∞)內單調減小,函數值的取值范圍也是區間(0,-e-1lna);據此可知方程xax(lna)2=1在區間(0,logae-1)內存在一個實數根(記為x1);在區間(logae-1,+∞)內存在另一個實根(記為x2).當x=x1或x2時當x1＜x＜x2時xax(lna)2＞1,由xlna＜0,得當0＜x＜x1或x＞x2時0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

2.2 第二類交點的存在性

前已證明,當0＜a＜1時曲線y=ax與曲線y=logax在直線y=x上有且只有一個交點(第一類交點).

令axlna=-1,當0＜a＜1時此方程存在唯一實數根x0=loga(logae-1).這說明指數曲線y=ax在點(loga(logae-1),logae-1)處的斜率為-1.相應地,對數曲線y=logax在點(logae-1,loga(logae-1)處的斜率為-1.

以下證明當且僅當0＜a＜e-e時指數曲線y=ax與對數曲線y=logax存在第二類交點.

(1)當a＞1時,曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

證明若曲線y=ax與y=logax有一交點不在直線y=x上,設其坐標為(u,v),根據反函數的性質,二者必有另一交點(v,u),從而有au=v,av=u,不妨設u＞v,由于a＞1,應有au＜av,導致v＞u.矛盾.故當a＞1時,曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

(2)當e-e＜a＜1時,曲線y=ax與y=logax也不存在第二類交點.

證明當e-e＜a＜1時,-e＜lna＜0,從而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＞0,說明點(loga(logae-1),logae-1)在曲線y=ax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的左側,由對稱性知點(logae-1,loga(logae-1)在曲線y=logax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的右側,不妨設此時曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的坐標為(c,c).由于函數y=axlna與

(3)當a=e-e時,曲線y=ax與y=logax同樣不存在第二類交點.

證明當a=e-e時,點既在對數曲線上又在指數曲線上,對數曲線與指數曲線在點處的斜率都是-1,二者相切于點由推論Ⅱ知:當從而曲線y=ax與y=logax在區間上不會相交,由對稱性知曲線y=ax與y=logax在區間上也不會有交點,故當e-e＜a＜1時曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

(4)當0＜a＜e-e時,指數曲線y=ax與對數曲線y=logax存在兩個第二類交點.

證明當0＜a＜e-e時,lna＜-e,從而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＜0,說明點(loga(logae-1,logae-1)在曲線y=ax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的右側,由對稱性知點(logae-1,loga(logae-1)在曲線y=logax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的左側,不妨設此時曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的坐標為(d,d).由函數y=axlna與時都是增函數,可知在交點(d,d)處,有

令xax(lna)2=1,由推論Ⅲ知此方程存在兩個相異實根x1、x2(0＜x1＜x2),且由于dad(lna)2＞1可知x1＜d＜x2.再根據推論Ⅲ即得:當d＜x＜x2時當x=x2時當x＞x2時從而知曲線y=ax與y=logax在區間(d,+∞)上必有且僅有一個交點,由對稱性知在(0,d)內還有一個交點,故當0＜a＜e-e時曲線y=ax與y=logax有兩個第二類交點.

例如,函數y=0.02646x與y=log0.02646x二者的圖像有3個交點:一個交點在直線y=x上,用M athem atica計算可知其坐標為(0.31663,0.31663)(近似數);另兩個交點一個是(0.04656,0.84442)(近似數),另一個是(0.84442,0.14656)(近似數),此兩點關于直線y=x對稱.

[1]蔡邦成.巧構模型妙除頑癥[J].數學通報,2006,45(8):41-43.

[2]黃俊明.關于指數函數與對數函數圖像的交點個數問題[J].凱里學院學報,2007,25(6):7-8

Two Kind Intersection Points of Exponential Function and Logarithm ic Function Graph

GAO Huan-jiang
(Teaching Institute of Mathematics,Xingtai Medical College,Xingtai 054000,China)

This paper provides an existence proof of two kind intersection points for the graph of exponential function and logarithmic function to the same base through discussing two other function’s properties with the ma the matical analysis method;It reveals the positional relation be tween the graph of exponential function and logarithmic function from a new angle.

exponential function;logarithmic function;derivative;slope;intersection point

O172.1

A

1008-9128(2010)02-0036-03

2010-01-11

高煥江(1963-),男,副教授.研究方向:數學教學與研究.

[責任編輯 宋煥斌]