淺談實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用

摘要:通過(guò)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)部分擇優(yōu)問(wèn)題中的運(yùn)用的探討，對(duì)相關(guān)經(jīng)濟(jì)理論進(jìn)行了數(shù)學(xué)定量解釋?zhuān)瑤椭由顚?duì)相關(guān)經(jīng)濟(jì)理論的理解。結(jié)合具體例子所作的詳細(xì)說(shuō)明為理論的運(yùn)用提供了一般方法，該方法為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性理論在其他問(wèn)題中的運(yùn)用可以方便地移植。

關(guān)鍵詞:實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣;有定性理論;經(jīng)濟(jì)分析;擇優(yōu)理論

中圖分類(lèi)號(hào):F12文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1673-291X(2010)33-0007-07

在當(dāng)代各門(mén)學(xué)科中，經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)最為普遍、最為深入的學(xué)科之一。其中，矩陣?yán)碚撛诮?jīng)濟(jì)學(xué)的文獻(xiàn)中得到廣泛的運(yùn)用。作為特殊矩陣的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的有定性更是擇優(yōu)分析中判定最優(yōu)解不可或缺的有力工具。本文僅對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性、半正定性、負(fù)定性、半負(fù)定性在相關(guān)經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用進(jìn)行初步探討。

一、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性判別的主要方法

記A=(aij)n×n為n階方陣，=(xi)n×1為n維列向量，AT、T分別為A與的轉(zhuǎn)置矩陣和轉(zhuǎn)置向量。A=AT且aij∈R(i，j=1，2，…，n)，則A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。

1.相關(guān)定義

定義(1)設(shè) f(x1，x2，…，xn)=TA為實(shí)二次型，A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，那么:

1) 對(duì)任意≠，恒有TA>0，則稱(chēng)A為正定矩陣。

2) 對(duì)任意，恒有TA≥0，則稱(chēng)A為半正定矩陣。

3) 對(duì)任意≠，恒有TA<0，則稱(chēng)A為負(fù)定矩陣。

4) 對(duì)任意，恒有TA≤0，則稱(chēng)A為半負(fù)定矩陣。

5) 若TA符號(hào)不定，則稱(chēng)A為不定矩陣。

定義(2)設(shè)A、B都是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，若A-B為半正定矩陣，則稱(chēng)A≥B。

定義(3)設(shè)A是n階矩陣，從中任取(i1，i2，…，ik)行和(i1，i2，…，ik)列，由其交點(diǎn)元素按原來(lái)次序排列而成的k階行列式，稱(chēng)為A的一個(gè)k階主子式，記為|Dk|;從中取前k行、前k列，由其交點(diǎn)元素按原來(lái)次序排列而成的k階行列式，稱(chēng)為A的k階順序主子式，記為|Ak|。

定義(4)設(shè)A是n階矩陣，對(duì)≠，若A=λ，則稱(chēng)λ是A的特征值，是屬于特征值λ的特征向量，其中λ是標(biāo)量。

2.相關(guān)定理

定理(1)設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則A的n個(gè)特征值為A的特征方程|A-λE|=0的解，記為λ1，λ2，…，λn (重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。那么 λi∈R(1≤i≤n)。

定理(2)設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，λi(i=1，2，…，n)是A的特征值，則有:

1)A是正定矩陣?圳λi>0，1≤i≤n。

2)A是半正定矩陣?圳λi≥0，1≤i≤n。

3)A是負(fù)定矩陣?圳λi<0，1≤i≤n。

4)A是半負(fù)定矩陣?圳λi≤0，1≤i≤n。

5)A是不定矩陣?圳λi符號(hào)不定，1≤i≤n。

定理(3)設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則有:

1)A是正定矩陣?圳|Ak|>0，1≤k≤n。

2)A是半正定矩陣?圳|Dk|≥0，1≤k≤n。

3)A是負(fù)定矩陣?圳(-1)k|Ak|>0，1≤k≤n。

4)A是正定矩陣?圳-A是負(fù)定矩陣。

5)A是半正定矩陣?圳-A是半負(fù)定矩陣。

定理(4)若n階對(duì)稱(chēng)矩陣A是正定的，則A-1、A*也是正定矩陣，其中A-1是A的逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣。

定理(5)設(shè)A(aij)n×k，且A的秩r(A)=k，則ATA=C=(cij)k×k是正定矩陣。

二、在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)古典線性回歸模型中的應(yīng)用

(一)線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

1.線性回歸模型的基本假定

假定(1)(線性假定)

yt=β1xi1+β2βxi2+…+βkxik+εi (i=1，2，…，n)

其中，βi (i=1，2，…，k) ，是未知待估參數(shù)，εi是第i次觀測(cè)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差項(xiàng)。

假定(2) (嚴(yán)格外生性)

E(εI|X)=0(i=1，2，…，n);X=(xij)n×k

假定(3) (無(wú)多重共線性)

r(X)=k，即矩陣X為滿(mǎn)列秩矩陣。

假定(4) (誤差的球面方差)

1)同方差E(ε2i|X)=σ2>0(i=1，2，…，n)

2)觀測(cè)值不相關(guān)E(εiεj|X)=0(i，j=1，2，…，n;i≠j)

2.模型的矩陣表示

記Ti=(xi1，xi2，…，xik)，=(β1，β2，…，βk)T

=(β1，β2，…，βk)T，=(β1，β2，…，βk)T，X=(xij)n×k

則假定(1)可以用下面矩陣表達(dá)式表示:

=X+

3.未知參數(shù)向量的最優(yōu)估計(jì)值的確定(OLS估計(jì)值)

稱(chēng)=-X為觀測(cè)的殘差向量，則εi=yi-T是第i期觀測(cè)的殘差。那么，n期觀測(cè)殘差的平方和為:

(yi-T)2=(-X)T (-X)

它是向量-X對(duì)自己的內(nèi)積，也是向量與X向量距離的平方。現(xiàn)在的任務(wù)是尋找適宜的，使當(dāng)用估計(jì)時(shí)，與X的距離最小。

顯然，T=(-X)T (-X)

=(T-TXT)T (-X)

=T-TX-TXT+TXTX

=T-2TX+TXTX(注:TXT為標(biāo)量)

=T-2T+TA (注:≡XT，A≡XTX)

T不依賴(lài)于，對(duì)T求導(dǎo)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為零。

A是對(duì)稱(chēng)矩陣，根據(jù)矩陣的微分知識(shí)可知:

=， =2A [1]

于是=-2+2A

由擇優(yōu)一階必要條件:令-2+2A=?圯A=，得到唯一穩(wěn)定點(diǎn)=A-1 ?圯=(XTX)-1XT(注:由假定(3)及定理(5)知道是正定矩陣，所以A可逆)

再考察擇優(yōu)的二階充分條件，=2A。因?yàn)锳是正定矩陣，所以2A也是正定矩陣，2A就是周知的海賽矩陣，由于海賽矩陣處處正定是為唯一絕對(duì)極小值的充分條件，因而，是T的最小值點(diǎn)。

(二)在OLS估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)證明中的運(yùn)用

在OLS估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)中，有一個(gè)著名的高斯—馬爾科夫定理:根據(jù)古典線性回歸模型的基本假定，OLS估計(jì)量是有效的線性無(wú)偏估計(jì)量。換言之，對(duì)于任何一個(gè)的線性無(wú)偏估計(jì)量，都存在矩陣形式的關(guān)系式Var(|X)≥Var(|X)。

該定理證明過(guò)程如下:因是的線性函數(shù)，可以寫(xiě)成=C，C是X的函數(shù)構(gòu)成的矩陣。令D≡C-A或C≡D+A且A≡(XTX)-1XT，于是:

=(D+A)

=D+A

=D(x+)+(注:=X+與A=(XTX)-1

XT=)

=DX+D+

兩邊取條件期望得到:

E(|X)=DX+E(D|X)+E(|X)

因?yàn)榕c都是的無(wú)偏估計(jì)量，即E(|X)=E(|X)=

所以，DX+E(D|X)=，且E(D|X)=ED(|X)=

于是D=。若對(duì)于任意都要求D=成立，則必須滿(mǎn)足DX=O。因此，=D+，且-=D+(-)=(D+A)

(注:-=(XTX)-1XT-=(XTX)-1XT(X+)-

=((XTX)-1(XTX))+(XTX)-1XT-

=+(XTX)-1XT-

=(XTX)-1XT=A)

從而得到:

Var(|X)=Var(-|X)

=Var((D+A)|X)

=(D+A)Var(|X)(D+A)T (注:A與D都是X的函數(shù))

=(D+A)(σ2In)(DT+AT)

=σ2(D+A)(DT+AT) (注:σ2是標(biāo)量，In是n階單位矩陣)

=σ2(DDT+ADT+DAT+AAT)

注意到DAT=D((XTX)-1XT)T=DX((XTX)-1)T=O (注:DX=O)

ADT=(DAT)T=O

AAT={(XTX)-1XT}{XTX)-1XT}T={(XTX)-1(XTX)}(XTX)-1=(XTX)-1

于是Var()σ2{DDT+(XTX)-1} (注:DDT為半正定矩陣，且≥σ2(XTX)-1 (XTX)-1 +DDT-(XTX)-1 =DDT，

=Var(|X)

由定義(2)知DDT+(XTX)-1≥(XTX)-1)

最后一個(gè)等式成立是因?yàn)?

Var(|X)=Var{(-)|X} (注:不是隨機(jī)變量)

=Var(A|X)

=AVar(|X)AT(注:A是X的函數(shù))

=AE(T|X)AT(注:用基本假定 (2))

=A(σ2In)AT

=σ2AAT

=σ2 (XTX)-1

可見(jiàn)這個(gè)重要定理的證明，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的有定性起到了不可替代的作用。

三、無(wú)條件極值二階充分條件在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用

(一)無(wú)條件極值的二階充分條件

設(shè)n元實(shí)函數(shù)f(x2，x2，…，xn)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并記≡fi、≡fij，由楊定理可知fij=fji。

*為極值點(diǎn)的一階必要條件是眾所周知的:

fi| = 0 (i=1，2，…，n)

而*為極值點(diǎn)的二階充分條件則需要考察如下形式的海賽(Hessian)矩陣:

H=f11 f12 … f1nf21f22… f2n… … … …fn1fn2… fnn

由于fij=fji，所以矩陣H為對(duì)稱(chēng)矩陣。二階充分條件可敘述為:

(1)H在*為負(fù)定矩陣，則*為相對(duì)極大值點(diǎn);H處處為半負(fù)定矩陣，則*為絕對(duì)極大值點(diǎn);H處處為負(fù)定矩陣，則*為唯一的絕對(duì)極大值點(diǎn)。

(2)H在*為正定矩陣，則*為相對(duì)極小值點(diǎn);H處處為半正定矩陣，則*為絕對(duì)極小值點(diǎn);H處處為正定矩陣，則*為唯一的絕對(duì)極小值點(diǎn)。

(3)H在*為不定矩陣，則*不是極值點(diǎn)(鞍點(diǎn))。

關(guān)于H有定性的判別方法，可以在定理(2)與定理(3)中選擇。

(二)二階充分條件的運(yùn)用

1.多產(chǎn)品廠商問(wèn)題

假設(shè)有一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的兩產(chǎn)品廠商。因在完全競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，兩商品的價(jià)格必然是外生的，分別用P10與P20表示。據(jù)此，廠商的收益函數(shù)為:

R=P10Q1+P20Q2

其中，Qi(i=1，2)表示單位時(shí)間內(nèi)第i產(chǎn)品的產(chǎn)量。假設(shè)廠商的成本函數(shù)為:

C=2Q21+Q1Q2+2Q22

則其利潤(rùn)函數(shù)可以寫(xiě)成:

π=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q21-Q1Q2-2Q22

下面要完成的任務(wù)是求出使π最大化的產(chǎn)出水平Q1與Q2的組合。為此，先求出利潤(rùn)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù):

π1(≡)=P10-4Q1-Q2

π2(≡)=P20-Q1-4Q2(1)

令二者等于零，為滿(mǎn)足最大化條件，得到方程組:

4114Q1Q2=P10P20

產(chǎn)生唯一解Q* =Q*1Q*2 =4P10-P204P20-P10

具體的，若P10=12，P20=18，則有Q*1=2，Q*2=4，這可能意味著單位時(shí)間的最大利潤(rùn)為π*=48。

為確認(rèn)此值的確是最大利潤(rùn)，現(xiàn)在檢驗(yàn)二階充分條件。從一階偏導(dǎo)數(shù)容易得到二階偏導(dǎo)數(shù)并得到如下海賽矩陣:

H=π11π12π21 π22=-4-1-1-4

因?yàn)閨H1|=-4<0，|H2|=-4-1-1-4=15>0，所以H為負(fù)定矩陣。又因?yàn)轫樞蛑髯邮降姆?hào)與它們?cè)诤翁幱浿禑o(wú)關(guān)，故H在本例中處處負(fù)定，從而Q*是唯一的絕對(duì)極大值(最大值)點(diǎn)。

2.多產(chǎn)品廠商在壟斷市場(chǎng)環(huán)境中的問(wèn)題

仍假定廠商生產(chǎn)兩種產(chǎn)品。但由于市場(chǎng)環(huán)境發(fā)生了變化，收益函數(shù)必須反映如下的事實(shí):兩產(chǎn)品的價(jià)格將隨產(chǎn)出水平的變化而變化。當(dāng)然，價(jià)格隨產(chǎn)出水平變化的確切方式還有待于從廠商兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)中求出。

假設(shè)對(duì)壟斷廠商產(chǎn)品的需求函數(shù)如下:

Q1=40-2p1+p2

Q2=15+p1-p2 (2)

以上兩個(gè)方程揭示出，兩種產(chǎn)品在消費(fèi)中存在某種聯(lián)系。具體地說(shuō)，它們是替代品，因?yàn)橐环N商品價(jià)格的提高將提高對(duì)另一種商品的需求。正如需求函數(shù)指明的，需求量Q1和Q2是價(jià)格的函數(shù)。就我們現(xiàn)在的目的而言，將價(jià)格表示為需求量的函數(shù)也許更方便一些。改寫(xiě)需求方程如下:

-2p1+p2 =Q1-40

p1-p2=Q2-15

解方程組得:

p1=55-Q1-Q2

p2=70-Q1-2Q2 (3)

因而，廠商的總收益函數(shù)為:

R=p1Q1+p2Q2

=(55-Q1-Q2)Q1+(70-Q1-2Q2)Q2

=55Q1+70Q2-2Q1Q2-Q21-2Q22

若仍然假設(shè)總成本函數(shù)為:

C=Q21+Q1Q2+Q22

則利潤(rùn)函數(shù)將為:

π=R-C=55Q1+70Q2-2Q1Q2-2Q21Q22(4)

目標(biāo)函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)如下:

π1=55-3Q2-4Q1 π2=70-3Q1-6Q2

π11=-4 π12=π21=-3 π22=-6

由一階必要條件得:

4Q1+3Q2=55

3Q1+6Q2=70

解得穩(wěn)定點(diǎn):Q*=Q*1Q*2= 87

又因?yàn)?H=π11π12π21π21=-4 -3-3 -6

現(xiàn)在求取H的特征值檢驗(yàn)二階充分條件:解特征方程|H-λI2|=0

|H-λI2|=-4-λ -3-3 -6-λ=λ+4 33 λ+6=λ2+10λ+15=0

λ1，2==-5±<0

由于H的兩個(gè)特征值都小于零，故H處處負(fù)定，Q*確是π的唯一最大值點(diǎn)。

將Q*分別代入價(jià)格函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)，可得:

P*=3946 π*=448

3.價(jià)格歧視問(wèn)題

在單一產(chǎn)品廠商中，也會(huì)產(chǎn)生涉及兩個(gè)或多個(gè)選擇變量的最優(yōu)化問(wèn)題。譬如，可能會(huì)有這種情況:一個(gè)壟斷廠商在兩個(gè)或多個(gè)隔離的(如國(guó)內(nèi)和國(guó)外)市場(chǎng)中銷(xiāo)售單一產(chǎn)品，因此必須確定向每個(gè)市場(chǎng)分別供給的數(shù)量，以使利潤(rùn)最大化。一般而言，不同的市場(chǎng)會(huì)有不同的需求條件，如果在不同市場(chǎng)中需求彈性不同，利潤(rùn)最大化就會(huì)涉及價(jià)格歧視問(wèn)題。

假設(shè)存在三個(gè)隔離的市場(chǎng)。首先使用一般函數(shù)，稍后再討論數(shù)字的例子。假定廠商具有如下總收益函數(shù)和總成本函數(shù):

R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)

C=C(Q)，其中Q=Q1+Q2+Q3

其中，Ri表示第i市場(chǎng)的收益函數(shù)。每個(gè)收益函數(shù)自然意味著特殊的需求結(jié)構(gòu)，他與另外兩個(gè)市場(chǎng)的需求結(jié)構(gòu)一般有所不同。另外，在成本方面，設(shè)定僅有一個(gè)成本函數(shù)，是因?yàn)橐粋€(gè)廠商為所有三個(gè)市場(chǎng)供應(yīng)產(chǎn)品。

現(xiàn)在利潤(rùn)函數(shù)為:

π=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)-C(Q)

其一階偏導(dǎo)數(shù)πi≡?鄣π/?鄣Qi (i=1，2，3)如下:

π1=R′1(Q1)-C′(Q)

=R′1(Q1)-C′(Q) (注:=1，i=1，2，3)(5)

π2=R′2(Q2)-C′(Q)

π3=R′3(Q3)-C′(Q)

令上述方程等于零，同時(shí)得到:

C′(Q)=R′1(Q1)=R′2(Q2)=R′3(Q3)

即MC=MR1=MR2=MR3 (注:MC為邊際成本，MRi為i市場(chǎng)的邊際收益)。

由于第i市場(chǎng)的收益為Ri=piQi，可以知道，邊際收益必然為:

MRi≡=pi+Qi

=pi(1+)=pi(1+)

其中，εdi為第i市場(chǎng)的點(diǎn)彈性，通常為負(fù)。因此，MRi與pi之間的關(guān)系可由下面方程表示:

MRi=pi(1-) (6)

因?yàn)閨εdi|一般是pi的函數(shù)，因此當(dāng)Q*i選定時(shí)，p*i便確定了，|εdi|也將取定為一具體的值，它或大于1，或等于1，或小于1。但當(dāng)|εdi|<1時(shí)，需求在該點(diǎn)缺乏彈性，其倒數(shù)大于1，公式(6)中括號(hào)內(nèi)的式子為負(fù)值，因而MRi的值為負(fù)。同理，若|εdi|=1，需求在該點(diǎn)為單位彈性時(shí)，MRi=0。由于廠商的邊際成本MC為正值，一階條件MC=MRi要求廠商在MRi為正值的水平上經(jīng)營(yíng)，因此，廠商所選擇的銷(xiāo)售水平Qi必須使該市場(chǎng)中相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)彈性大于1。

根據(jù)(6)，一階條件MR1=MR2=MR3現(xiàn)在變換成如下形式:

P1=(1-) =p2(1-) =p3(1-)

由此可以推斷出:在某一特定市場(chǎng)中(在選定的產(chǎn)出水平下)，|εd|越小，在該市場(chǎng)中所要索取的價(jià)格必須越高，即實(shí)行價(jià)格歧視，才能使利潤(rùn)最大化。

為確保最大化，檢驗(yàn)二階充分條件，由公式(5)求得二階偏導(dǎo)數(shù)如下:

πii=R″i(Qi)C″(Q) (i=1，2，3)

πij=-C″(Q) (i，j=1，2，3;i≠j)

在簡(jiǎn)化二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)后，海賽矩陣表示如下:

H=R″1-C″ -C″ -C″-C″ R″2-C″ C″-C″-C″ R″3-C″ (7)

如果下列條件成立，H為負(fù)定矩陣，二階充分條件便完全滿(mǎn)足:

1)|H1|=R″1-C″<0。

2)|H2|=(R″1-C″)(R″1-C″)-(C″)2>0。

3)|H3|=R″1R″2R″3-(R″1R″2+R″1R″3+R″2R″3)C″<0。

為得到更具體的印象，現(xiàn)給出一個(gè)數(shù)字形式的例子。假定壟斷廠商具有如下具體的收益函數(shù):

p1=63-4Q1p2=105-5Q2 p3=75-6Q3

從而

R1=p1Q1=63Q1-4Q21

R2=p2Q2=105Q2-5Q22

R3=p3Q3=75Q3-6Q23

且總成本函數(shù)為:C=20+15Q

得到邊際函數(shù)為:

R′1=63-8Q1 R′2=105-10Q2 R′3=75-12Q3 C′=15

令C′=R′1=R′2=R′3，求得均衡數(shù)量:

Q*1=6 Q*2=9 Q*3=5 Q*=Q*i=20

將上述結(jié)果代入收益和成本方程，得到π*=679 。

因?yàn)檫@是一個(gè)具體模型，必須檢驗(yàn)二階條件。二階偏導(dǎo)數(shù)為:

R″1=-8R″2=-10R″3-12C″=0

所以如公式(7)的海賽矩陣如下:

H=-800 0 -100 0 0 -12

因?yàn)檫@是一個(gè)三角對(duì)稱(chēng)矩陣，它的特征值就是主對(duì)角線上的元素，顯然它們都是負(fù)數(shù)，所以H是負(fù)定矩陣且處處負(fù)定。于是，(Q*1，Q*2，Q*3)=(6，9，5)是唯一最大值點(diǎn)。進(jìn)而可得到最佳定價(jià)點(diǎn)(p*1，p*2，p*3)=(39，60，45)。

注意到=- =- =-

εd1=×=-×=-

εd2=×=-×=-

εd3=×=-×=-，

這也驗(yàn)證了前述彈性越小定價(jià)越高，即實(shí)施價(jià)格歧視的結(jié)論。

四、等式約束極值二階充分條件在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用

(一)等式約束最優(yōu)化問(wèn)題的理論成果回顧

1.等式約束下實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性判別定理

考慮實(shí)二次型f(x1，x2，…，xn)=TA，其中=(x1，x2，…，xn)T，A=(aij)n×n，AT=A，aij∈R。與一個(gè)由m個(gè)線性方程組成的系統(tǒng)B=，其中B是秩為m的m×n矩陣(m

=Om×mBBTA

考察它的m+r階順序主子式:

r=Om×mBmrBTmr Ar

其中，Ar是由A的前r行與前列構(gòu)成的r階方陣，Bmr是由B的所有行和前r列構(gòu)成的m×r矩陣，而B(niǎo)Tmr則是Bmr的轉(zhuǎn)置矩陣。那么，當(dāng)滿(mǎn)足約束B(niǎo)=時(shí)，判定A是正定或者負(fù)定的有如下結(jié)論:

定理(1)[2] 二次型f(x1，x2，…，xn)=TA在約束B(niǎo)=下有:

(1)A是正定的充要條件為:加邊矩陣A的從n-m起的所有各階順序主子式的符號(hào)為(-1)m。即若m是偶數(shù)(奇數(shù))，則從m-n起的所有各階順序主子式是正數(shù)(負(fù)數(shù))。亦即(-1)mr>0，(m+1≤r≤n);

(2)A是負(fù)定的充要條件為:加邊矩陣的從n-m起的所有各階順序主子式的符號(hào)交替改變，且第一個(gè)的符號(hào)為(-1)m+1。即(-1)rr>0，(m+1≤r≤n)。

2.經(jīng)濟(jì)分析中海賽加邊矩陣的結(jié)構(gòu)

假設(shè)存在n個(gè)選擇變量的目標(biāo)實(shí)函數(shù)f(x1，x2，…，xn)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且有形式為gj(x1，x2，…，xn)=cj的m個(gè)約束(m

Z=f(x1，x2，…，xn)+λj[cj-gj(x1，x2，…，xn)]

(1)擇優(yōu)的一階必要條件。

要求得穩(wěn)定點(diǎn)，必須保證dZ=dxi+dλi=0，對(duì)任意dxi與dλi成立。于是必須有:

Z1=Z2=…=Zn=Zλ1=Zλ2=…=Zλm= 0 (Ⅰ)

其中Zi≡ (i=1，2，…，n)，Zλi≡(j=1，2，…，m)。

這就是眾所周知的一階必要條件，穩(wěn)定點(diǎn)可以通過(guò)求解方程組(Ⅰ)而得到。

(2)擇優(yōu)的二階充分條件。此時(shí)需要考慮如下的海賽加邊矩陣:

=Om×mGm×nBTm×nZn×n

其中，G=(gji)n×n gji≡ i=1，2，…，nj=1，2，…，m，GT是G的轉(zhuǎn)置矩陣;

Z=(zij)m×nzij≡(i，j=1，2，…，n)

由gj=cj知道

dgj==dcj=0(1≤j≤m)

所以，若記≡(dx1，dx2，…，dxn)T

則 G=g11g11…g1ng21g22…g2n…………gm1gm2…gmndx1dx2dxn=

約束矩陣滿(mǎn)足定理(1)的約束條件。

因?yàn)間j有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，由楊定理可知Z也是對(duì)稱(chēng)矩陣，且TZ為二次型，滿(mǎn)足定理(1)的二次型條件。其中，≡(dx1，dx2，…，dxn)T。

于是，在定義好海賽加邊矩陣的順序主子式

r=OmmGmrBTmrZrr (m+1≤r≤n)時(shí)，可以得到判別等式約束擇優(yōu)的二階充分條件:

1)(-1)mr>0，m+1≤r≤n?圳Z為正定矩陣?圯穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn);

2)(-1)rr>0，m+1≤r≤n?圳Z為負(fù)定矩陣?圯穩(wěn)定點(diǎn)為極大值點(diǎn)。

(二)海賽加邊矩陣的運(yùn)用

1.效用函數(shù)在預(yù)算約束下的最優(yōu)化問(wèn)題

考慮一個(gè)效用函數(shù)是U=x1x2的消費(fèi)者，他面臨的預(yù)算約束是B，給定商品的價(jià)格是p1和p2。則

選擇問(wèn)題是MaxU=x1x2s.tp1x1+p2x2 (Ⅱ)

拉格朗日函數(shù)是 Z=x1x2+λ(B-p1x1-p2x2)

一階必要條件是Z1=x2-λp1=0Z2=x1-λp2=0Zλ=B-p1x1-p2x2=0

用克拉默法則，解得x*1=，x*2=，λ*=

檢驗(yàn)二階充分條件，因

g1=p1，g2=p2，z11=0，z12=z21=1，z22=0

得海賽加邊矩陣:

=0p1p2p1 0 1p2 1 0

本例中，m=1，n=2。需要計(jì)算加邊順序主子式的個(gè)數(shù)為n-m=1個(gè)。r從m+1=1+1=2階開(kāi)始，故只需計(jì)算2。現(xiàn)在求取最大值，要求負(fù)定，其符號(hào)應(yīng)為(-1)m+1=(-1)1+1=1>0即2=>0。事實(shí)上，

2==0p1p2p1 0 1p2 1 0=p1p2-1×(-p1p2)=2p1p2>0

完全滿(mǎn)足二階充分條件，且由于2的符號(hào)與選擇變量無(wú)關(guān)，可以斷定(x*1，x*2)是全局唯一最大值點(diǎn)。U*=x*1x*2=。

2.效用最大化的對(duì)偶問(wèn)題——成本最小化

仍沿用上例的效用函數(shù)與約束條件。用表示目標(biāo)效用水平，則問(wèn)題變化為:

Minf=p1x1+p2x2s.t x1x2=U*

問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)是Zd=p1x1+p2x2+λ(U*-x1x2)

一階必要條件是Zd1=p1-λx2=0Zd2=p2-λx1=0Zdλ=U*-x1x2=0

求解這個(gè)方程系統(tǒng)得穩(wěn)定點(diǎn):x*1=U*1/2，x*2=U*1/2， λ*=p1p21/2

檢驗(yàn)最小值的二階充分條件:

g1=x2，g2=x1，zd11=0，zd12=zd21=-λ，zd22=0

海賽加邊矩陣是=0x2x1x2 0 -λx1 -λ0

因?yàn)楸纠乔笞钚≈担砸鬄檎ň仃嚒Ｒ蚨?=的符號(hào)為(-1)m=(-1)1

=-1<0。事實(shí)上。

2==0x2x1x2 0 -λx1 -λ0=-2λx1x2<0

滿(mǎn)足唯一絕對(duì)極小值點(diǎn)的二階充分條件。

f*=p1U*1/2+p2U*1/2

=(p1p2U*)1/2+(p1p2U*)1/2=2(p1p2U*)1/2

五、結(jié)語(yǔ)

綜上探討，可見(jiàn)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的有定性在經(jīng)濟(jì)分析的各類(lèi)擇優(yōu)問(wèn)題中，對(duì)最優(yōu)點(diǎn)的判定起到了重要的作用。當(dāng)然，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的有定性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止如此。譬如，在非線性規(guī)劃中，還有諸多擴(kuò)展應(yīng)用，像正定二次函數(shù)的共軛梯度法就是之一;在凸(凹)規(guī)劃與擬凸(擬凹)規(guī)劃中還有大量的重要結(jié)論;在開(kāi)放的投入產(chǎn)出模型中參與重要定理的證明等等。從定性分析到定量分析是科學(xué)的必經(jīng)之路。經(jīng)濟(jì)管理是科學(xué)，筆者相信，在經(jīng)濟(jì)分析方法不斷創(chuàng)新發(fā)展的當(dāng)代，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有定性理論一定會(huì)在這個(gè)古老而年輕的科學(xué)分支中獲得更大應(yīng)用空間。