淺述解數學綜合題的幾點策略

綜合題是指涉及的知識點比較多、面比較廣，并且對這些知識點以及他們之間的聯系比較深刻的一類問題。解這類問題時，往往需要多種數學方法合理配合運用，或者要求有較強的分析問題和解決問題的能力。因此，解綜合題，除了具備扎實的數學知識基礎，還需要掌握分析問題、探索解題思路和選擇數學方法等技巧，這樣才能實現解題目標。

一、 實現條件和結論的統一是解題的根本

問題是由條件和結論兩部分組成，解決問題就是實現條件和結論的統一。即由條件逐步導出結論。因此，分析問題首先是分析條件和結論之間的差別和聯系，解題的途徑就是縮小差異，擴大聯系，直至實現條件和結論統一的目標。在分析問題時，可以通過以下兩個問題展開:

第一，題設的條件有哪些?有這些條件可以得到哪些結論?

第二，所求問題的結論是什么?要得到這些結論需要哪些條件?

例1已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tgαtgβ的值。

分析:怎樣利用已知的兩個等式?初看好像找不出條件和結論的聯系，只好從未知tgαtgβ入手，當然，首先想到的是把tgα、tgβ分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求;于是可考慮將tgαtgβ寫成，轉向求sinαsinβ、cosαcosβ。

令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=。

從方程的觀點看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉向求x+y=cos(α-β)，x-y=cos(α+β)。這樣把問題轉化為下列問題:

已知 cosα+cosβ=①，cosα+cosβ= ②

求cos(α+β)、cos(α-β)的值。

①2+②2得2+2cos(α-β)=，cos(α-β)=。

②2-①2得cos2α+cos2β+2cos(α+β)=，cos(α+β)=-。

這樣問題就可以得以順利解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

二、 合理轉化是解題的有效途徑

在解決問題的過程中，常常遇到一些比較復雜的、陌生或非標準的問題，這些問題往往不易直接得到解答。那么就需要我們通過變形，促使問題不斷轉化，最后將它歸結為較簡單，熟悉的或標準的已經解決或容易解決的問題。這就是思考問題與解決問題的一種重要策略思想——化歸思想。實際上，數學中運用化歸思想分析解決問題的范例，幾乎處處可見。在解方程或不等式時，通常都是將“無理”轉化為“有理”“分式”轉化為“整式”“高次”轉化為“一次或二次”;在立體幾何中，常將空間圖形的問題，通過隔離法或類比，將它轉化為相應的平面圖形問題;在解析幾何問題中，通過建立直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，通過坐標變換，將非標準形式的方程轉化成標準形式的曲線方程。因此，樹立化歸意識，對于迅速確定解題途徑具有重要意義。

例2直線L的方程為:x=-(p>0)，橢圓中心D(2+，0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問P在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離?

分析: 由拋物線定義，可將問題轉化成:P為何值時，以A為焦點、L為準線的拋物線與橢圓有四個交點，再聯立方程組轉化成代數問題(研究方程組解的情況)。

解:由已知得:a=2，b=1，A(，0)，設橢圓與雙曲線方程并聯立有:y=2px+y2=1，消y得:x2-(4-7p)x+(2p+)=0。

所以由Δ=16-64p+48p2>0，即6p2-8p+2>0，解得:p<或p>1。

結合范圍(，4+)內兩根，設f(x)=x2-(4-7p)x+(2p+)=0，所以<<4+，即p<，且f()>0、f(4+()>0，即p>-4+3。

結合以上，所以-4+<3

本題利用方程的曲線將曲線有交點的幾何問題轉化為方程有實解的代數問題，這樣就可以應用判別式將問題輕易解決。

對于問題的轉化，最重要的是確定轉化的方向。而轉化方向的確定，除了要具有較好的數學基礎，掌握一定的基本問題，還需要善于聯想。通常在遇到一些陌生問題時，應充分聯想在自己已知的問題中，有無與這一類問題類似的問題(包括條件類似、結論類似、問題提法類似、圖形類似等)，即從不熟悉中尋找熟悉的因素，并以此為契機，予以突破，進而分析能否將原問題轉化為已知問題，或借助已知問題的解題思路確定轉化的方向。適時地合理轉化能幫助我們更快地找到解題的思路，不失為解題的一條捷徑。

三、 分類討論是解題的有效手段

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是:分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

例3在xoy平面上給定曲線y2=2x，設點A(a，0)，∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數表達式。

分析:求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數，轉化為二次函數在約束條件x≥0下的最小值問題，進而對參數a的取值進行討論。

解:設M(x，y)為曲線y2=2x上任意一點，則|MA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=x2-2(a-1)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1)。