淺談如何上好“圓與圓的位置關系”課

摘要:“圓和圓的位置關系”在北師大版教材九年級上第23章中第§23.2節，本節內容是學生在已經掌握“點和圓的位置關系”“直線和圓的位置關系”后，學生在已獲得一定的探究方法的基礎上，進一步探究兩圓的位置關系。它是平面解析幾何中必不可少的一節。本文在教材處理，難點的突破方面作了具體嘗試。

關鍵詞:學生為中心;認知規律;數量;投影

所謂“教必有法，教無定法”。針對高一學生的心理特點和認知能力，我認為本節課的教學中，應以學生為中心，讓學生積極思維，勇于探索，主動地獲取知識。教學中應采用問題教學法和類比教學法，用層層推進的提問啟發學生深入思考，主動探究，主動獲取知識。教學中應注意與學生已有知識的聯系，減少學生對新概念接受的困難，給學生充分的自主探索時間。通過教師的引導，啟發調動學生的積極性，讓學生在課堂上多活動、多觀察，主動參與到整個教學活動中來，組織學生參與“探究—討論—交流—總結”的學習活動過程。同時在教學中，還應充分利用多媒體教學，通過演示、操作、觀察、練習等師生的共同活動中啟發學生，讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養學生直覺思維能力。

當前素質教育的主流就是培養學生的能力，使學生學會學習，學會解決實際問題。本節應以生活中的一些例子為中心，立足于學生的“學”，讓學生親自嘗試，接受問題的挑戰，充分展示自己的觀點和見解，提高學生利用已學知識去主動獲取新知識的能力。課堂上要采用積極引導學生主動參與、合作交流的方法組織教學，給學生創設一個寬松愉快的學習氛圍，使學生真正成為教學的主體，體會參與的樂趣、成功的喜悅，感知數學的奇妙。教學中應在直線與圓位置關系的基礎上進行類比，以便于學生理解，符合學生的認知規律。

在具體教學時，可以進行如下設計。

一、 在定義兩圓位置關系時

1. 讓學生拿兩個課前準備好的大小不同的硬幣，在桌子上做平移運動，固定一個硬幣觀察、分析、發現結論

2. 在學生自己發現規律的基礎上，教師用電腦或投影打出圖7-207，再次做兩圓的相對運動

讓學生再次觀察、分析、比較，分別得出兩圓:外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系的定義，有不完整或不準確的地方教師加以補充糾正，準確給出描述性定義:

(1)外離:兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離(圖1)。

(2)外切:兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。這個唯一的公共點叫做切點(圖2)。

(3)相交:兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交(圖3)。

(4)內切:兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切。這個唯一的公共點叫做切點(圖4)。

(5)內含:兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖5)。兩圓同心是兩圓內含的一個特例(圖6)。

在引導學生獲得上述定義的過程中，要使學生注意數學語言的嚴謹性和準確性，并指出:

(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點，但同時要考慮內部和外部的因素。兩圓外切與內切也有這樣的比較。

(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一。

(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類:相離(外離和內含)、相交、相切(外切和內切)。

二、 在找兩圓位置關系的數量特征時

設兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，用電腦或投影再次出示兩圓的五種位置關系，讓學生觀察R，r和d之間有何數量關系?

先考查相切時的情況，出示圖7-209。

讓學生觀察，易得出:兩圓外切?圳d=R+r; 兩圓內切 ?圳d=R-r。

再考查外離和內含時的情況，出示圖7-210。

讓學生觀察，也容易得出:

兩圓外離?圳d>R+r，兩圓內含?圳dr)。

最后，觀察兩圓相交的情況(圖-211)。

學生很可能只說出d>R-r，則應向學生說明，這時兩圓還可能外切或外離，如果只說出d

所以只有R-r

為了方便記憶，將這五種數量關系用數軸表示為(圖7-212):

三、 訓練學生利用兩圓位置關系的數量特征判斷兩圓的位置關系

在訓練時，教師在給出例題后，可先讓學生思考解答甚至先讓學生到黑板上解答，然后再根據學生出現的問題進行有針對性的講解。

⊙O1和⊙O2的半徑分別為5厘米和7厘米，設

(1)O1O2=9厘米; (2)O1O2=6厘米;

(3)O1O2=3厘米; (4)O1O2=2厘米;

(5)O1O2=10厘米; (6)O1和O2重合。

根據以上條件，分別判斷⊙O1和⊙O2有何位置關系?

如在講解上面例題時就可先讓學生解答，這樣做有以下幾點好處:(1)可以培養學生解決問題的能力;(2)可以讓學生在解決問題時熟習所學知識點;(3)讓教師的講解更針對有性。

總之，在數學教學中，我們要以學生的發展為主體，嘗試不同的教學方法和手段，培養學生的思維品質和創造能力。

參考文獻:

[1]孫曉天，張丹.新課程理念與初中數學課程改革[M].長春:東北師

范大學出版社，2003.

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出版社，2003.

(蕭縣教師進修學校)