滿足AR(1)需求過程的零售商庫存決策和牛鞭效應

摘要:討論由一個供應商和一個零售商組成的簡單兩級供應鏈系統中，建立了零售商庫存決策模型，在滿足自回歸模型AR(1)的需求過程條件下，定量分析了自回歸系數和提前期對牛鞭效應的影響。指出對每個提前期，牛鞭效應度量能達到最大值，并找出滿足該值的自回歸系數范圍，因而修正了文獻 [5] 給出的自回歸系數對牛鞭效應定理及證明;當自回歸系數為正值時，牛鞭效應會發生，并隨提前期的增大而增強;當自回歸系數為負值時，牛鞭效應不會發生，且提前期對它的影響不明顯。結果為零售商減小牛鞭效應提供了一定的指導意義。

關鍵詞:供應鏈;庫存決策;牛鞭效應;自回歸過程

中圖分類號:F7文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)22-0184-04

“牛鞭效應”是在供應鏈中觀察到一個重要現象，指的是供應鏈下游通過補給訂單而向上游傳遞的過程中，需求波動不斷放大的一種現象[1]。對該現象的詳細討論出現在文獻Baganha and Cohen (1995)，Kahn (1987)，Lee et al.(1997a，b)and Metters (1996)。這種現象能增加供應鏈的成本、減少運作效率，因此對企業而言，有效地管理訂單波動是關鍵 [2]。Lee H L認為牛鞭效應產生的原因為:需求信號處理、長的提前期、理性博弈、批量訂單和價格波動 [3～4]，并針對這些原因如何造成及克服牛鞭效應進行了深入的分析且提出了一些有效的應對策略。

滿足隨機需求的牛鞭效應定量分析問題已經在近期的文獻中得到廣泛的研究。Lee在AR(1)需求模式下量化了牛鞭效應現象，并進行原因分析;Chen F等(2000)在AR(1)需求預測模型下研究了市場預測、提前期和信息共享對牛鞭效應的影響 [7～8]。Alwan等(2003)對滿足AR(1)需求過程下使用優化的均方誤差(MSE)預測機制量化牛鞭效應，指出牛鞭效應依賴于下游需求過程的相關結構 [9]。Zhang(2004)關于提前期和AR(1)需求過程內在的參數，不同的預測方法能導致不同性質的牛鞭效應，并提出提前期越長牛鞭效應越強 [10]。Luong(2006)關于AR(1)需求過程，對提前期和自回歸系數對牛鞭效應的研究，并對自回歸系數、移動平均參數和提前期對牛鞭效應進行了分析。提出自回歸系數為負值時，不會產生牛鞭效應，在自回歸系數為正值時會產生牛鞭效應，其值隨著提前期的增加而增大 [5]。然而文獻 [5] 對性質5(b)的證明有誤，本文將給出另一個定理及證明。另一個不同點是:文獻[5]牛鞭效應定量公式由一個簡單的Order-up-to庫存策略推出，而本文則是通過零售商定價和庫存決策推導出來，即由零售商利潤流最大化模型得到。

本文所用的記號如下:L表示訂單提前期;qt表示t期開始的市場需求，t表示t期市場需求qt的預測值;pt表示t期商品的市場價;ot表示t期開始零售商的訂單數量; It表示t期開始的采用訂貨點來計算的最高庫存(order-up-to)水平;St代表到t期能觀察到的需求歷史;β為折現率;QLt表示提前期L內的總的市場需求;Lt(It，Ht)表示t期末持有成本和短缺成本;h，k和c分別表示單位持有成本，單位短缺成本和單位訂單成本; Ht表示t期能觀察到的需求歷史;Et (.)表示在實現Ht需求歷史條件下的決策點t期的期望值;εt表示t期需求函數擾動項; M(.)表示εt的分布函數;Φ(.)表示標準正態分布函數;Bl和Be分別表示關于隨機線性需求函數和隨機等彈性需求函數訂單牛鞭效應度量函數;d為隨機擾動項的一階自回歸系數;εt為t期隨機擾動項;M(.)為εt在εt-1條件下的累積分布函數;Φ(.)為標準正態分布;B(d，L)為關于d和L的牛鞭效應度量函數。

一、零售商的庫存決策和牛鞭效應

假定考慮一個單產品、兩階段的簡單供應鏈系統:一個零售商和一個供應商。市場的需求由零售商掌握，零售商從發出訂單到收到商品的時間(即提前期L)固定且已知。雙方的行為都發生在一個無限離散的時間范圍。假設市場需求滿足需求 [15]:

qt=a-bpt+εt(t=0，1，2，…) (1)

并假設隨機擾動項滿足下列過程:

εt=e+dεt-1 +ρt(2)

式(1)中:pt 和qt分別為t期的商品價格和需求量;其中，a>0，b>0，|d|<1，εt 為t期的市場需求的隨機波動項，并假設它與pt不相關。利用Kahn的需求模型，假設隨機擾動項滿足獨立且同分布的均值為0方差為σ2的正態分布。設Ht代表到t期能觀察到的需求歷史，則St={q0，q，…，qt}過程。

假設零售商不干預定價，即pt=p。據文獻 [15]，零售價的庫存決策可由無限計劃期內最大化折現利潤流的期望值得到，即

maxpt，ItE0βt((βτ(t+τ|St)p)-cot-Lt(It，Ht))s.t.

It+1=It-qt+oi+1(3)

當零售商不干預定價決策時，Pt=P。由文獻 [17]，式(3)等價于以下式子:

minItβtE0[cot+Lt(It，Ht)](4)

可得t期最優OUT水平I*t為:

I*t=-σ2Φ-1+La+

-Lbp+dτ+1εt-1(5)

零售商的優化訂單數o*t滿足:o*t=I*t-I*t-1+qt-1

Var(o*t)=1+Var(εt-1)

現令B(L，d)來度量牛鞭效應，則

B(L，d)=Var(o*t)/Var(qt-1)=Var(o*t)/Var(εt-1)

1+ (6)

從(6)式看出，牛鞭效應度量與文獻 [5] 的公式一致，這是因為pt=p當時，由(1)和(2)式可以看出，qt=(1-d)(a-bp)+dqt-1+ρt(t=0，1，2，…)，需求過程{qt}∞0滿足AR(1)過程，均值為(a-bp)、方差為σ2/(1-d2)。以下來詳細討論d和L對B(d，L)的影響。

二、自相關系數和提前期對牛鞭效應的影響

1.自相關系數對牛鞭效應的影響

對于-1

令fi(d，L)=2di(1-dL+1)，則(6)式變為

B(d，L)=1+fi(d，L)(7)

引理1fi(d，L)在dd*i=()1 /(L+1)時嚴格單調減小。

引理2d*i為i的單調增函數。

引理3fi(d，L)在d>d*i-2，i>2時為凸函數。

證明因為對每個L，=di-2[i(i-1)-(L-i+1)(L+i)dL+1]，所以fi(d，L)的拐點為di=1 /(L+1)， 當i>2時，易證d*i-2>di 。而對于d>di，<0，因而，對于d>d*i-2，i>2，<0，即 fi(L，φ)為關于d的凸函數。

引理4limd→1B(d，L)。

引理5設Bk(d，L)=1+fi(d，L)，dk為Bk(d，L)的最大值點。則Bk(d，L)在d>d*k-1時為凸函數，dk∈(d* k-2，d*k]，且唯一。

證明 當k=1時，易知函數B1(d，L)=1+fi(d，L)為凸函數，命題成立。

在d∈[0，1]上，有

=4-2(L+2)(L+1)dL-2(L+3)(L+2)dL+1 (8)

是d的單調減函數，且注意到(8)式右邊最后一項為-2(L+3)，從而<0，

所以，由引理1和2知，當d>d* 1 時，B2(d，L)為凸函數。

又>0，所以d2∈(d*1，d*2]，命題對k=2成立。設當k1時命題成立，則

當d>d*k+1≥dk時，Bk(d，L)和Bk+1(d，L)=Bk(d，L)+fk+1(d，L)嚴格單調減小，

所以，dk+1≤d* k+1。又由假設，Bk(d，L)在dd*k-1時為凸函數。又fk+1(d，L)在d

Bk+1(d，L)=Bk(d，L)+fk+1(d，L)

在dd*k-1時為凸函數。由命題2 fk+1(d，L)在d>d*k-1時為凸函數。所以 Bk+1(d，L)在d>d*k-1時為凸函數。由數學歸納法，命題得證。

在引理5中，令k=L，并考慮到引理4，得到以下定理。

定理1 牛鞭效應測度B(d，L)具有下面性質:

(a) 對于d∈(0，d* L-2]，B(d，L)是d的嚴格單調增函數;對于d∈(d* L-2，1]，B(d，L)是凸函數，其中d*L=1/L+1;

(b) 存在d∈(d* L-2，d*L)，當d∈(0，d]時，B(d，L)嚴格單調增加，而d∈[d，1)時，B(d，L)嚴格單調減小。

在定理1中結論(b)直接由(a)得到。對于每個L，總是存在唯一的dmax∈(d* L-2，d*L)，使得B(d，L)達到最大值。

同時注意到，文獻 [5] 性質5(b)的證明似乎有問題，因為在證明<0時，用到以下不等式:

dL+1>>>，i≥1。這個不等式顯然不成立。

數值實驗也顯示，當L增加時，最大值隨之增大，同時dmax和d*L也增加。對于任何L和d∈(0，1)，總有B(d，L)>1，即牛鞭效應會發生。

根據上述分析，可以得到以下結論:

定理2 當-11，即牛鞭效應始終會發生。

2.提前期對牛鞭效應的影響

根據(6)式得，當-1

=ln|d|。

因此，由上式可以得到如下結論:

定理3 當0

從定理3可知，當自相關系數為正值時，牛鞭效應始終會發生，并隨著提前期的增加而變得更加強烈。因而零售商為了減少牛鞭效應的發生，應盡力縮短提前期。

然而，當自相關系數為負值時，牛鞭效應不會發生，且提前期對牛鞭效應度量的影響不大(解釋可由下圖得到)。所以，減少提前期對減弱牛鞭效應已失去了意義。

自相關系數(-1

三、結論

本文考慮由一個供應商和一個零售商組成的簡單兩級供應鏈系統，市場需求滿足一階自回歸AR(1)過程，定量分析自回歸系數和提前期對牛鞭效應的影響。修正了文獻 [5] 給出的自回歸系數對牛鞭效應定理及證明。結果指出對于滿足AR(1)的需求過程的零售商企業，庫存決策總會產生牛鞭效應;對于每個確定的提前期，總存在一個自回歸系數，使得牛鞭效應達到最大值;顯示隨著提前期的增大，對于正的自回歸系數，牛鞭效應也相應增強;但對于負的自回歸系數，牛鞭效應不會發生，且提前期對牛鞭效應的影響較小。作為供應鏈零售商企業，為了減少牛鞭效應，首先需要考慮需求的自相關系數的正負性;然后考慮，對正的自相關系數，應盡力縮短訂單提前期;而對于負的自相關系數，縮短提前期是沒有意義的。

本文也存在不足之處，如對滿足AR(1)需求過程進行研究，沒有考慮其他復雜的需求過程;另一方面，沒有考慮零售商的定價等。所有這些有待于進一步的研究。

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Retailer’s Inventory Policy and the Bullwhip Effect with AR(1) Demand Process

WANG Wei-jun1，2，TANG Xiao-wo1，YANG Jin-hao2

(1.School of Management，Electronic Science and technology University of China，Chengdu 610056;

2.College of Information Science and Technology，Chengdu University，Chengdu610071)

Abstract: This paper discusses the impact of autoregressive coefficient and lead time by retailer’s inventory policy on the bullwhip effect with AR(1) demand process in a simple two-stage supply chain system consisting of a single retailer and a single supplier.It presents the proposition of the impact of autoregressive coefficient and lead time on the bullwhip effect.It shows that the bullwhip effect will reaches the maximum for each lead time and finds the range of the autoregressive coefficient for the value.Therefore，it revises proposition 5 of literature [5].Moreever，it presents thatthe bullwhip effect always occurs when the autoregressive coefficient is positive andchanges intensively with the increasing of lead time;the bullwhip effect does not occur when the autoregressive coefficient isnegative.The results will possess some guiding significance for retailer to reduce the bullwhip effect..

Key words: supply chain ;inventory policy; bullwhip effect; autoregressive process[責任編輯 安世友]