2010年廣東高考數學試題評價

我省2007年開始實行新課程的高考，經過幾年的實踐，課改與新高考相互磨合，相互促進，取得了較大的成績. 2010年廣東高考數學試題又有新的進步，受到廣大師生與教研人員的普遍好評.

1. 重視夯實雙基，把握課程主線

高考是課程改革的重要組成部分，具有教學評價和人才選拔的雙重功能，新課標既是課程改革的依據，又是數學教材編寫和高考命題的依據. 2010年試題與近年高考試題相比，既有連續性與穩定性，又有不少新特色.

(1)新課標界定新高考的內容與專題

2010年試題(文科卷)五個必修模塊所占的分值比例大致相當，與各模塊教學時數所占的比例接近.比如，高中數學必修1的主要內容是函數概念、性質以及基本初等函數，它既是高中的重要基礎知識，也是學生學習高中數學的第一個難點. 歷年高考都以函數為重點，2010年試題也不例外，有關函數的試題，既出現在選擇題和填空題中，也出現在壓軸題(例如文科卷21題)中，從而突出了函數的基礎地位.

(2)課程新理念催生了高考的新題型

集合與函數、幾何與空間、概率與統計、計算與算法是高中數學的四條主線，它們是高考的主要線索，也是2010年高考的重點內容.新課程提倡積極主動、勇于探索的學習方式，從而催生了高考中的新題型. 例如，2007年高考理科第8題是定義一個新運算的問題，讓考生們都置身于一個新的情境中，考察應試者獨立閱讀理解新運算的定義，并根據定義判斷該運算的某些性質. 2010年試題(文科卷)第10題也是定義新運算的問題，文科考生需要認真閱讀理解用表格定義的運算，然后根據定義選擇正確的運算結果. 2010年文科卷試題主要考察學生基本的閱讀理解能力，要求能夠把表格所提供的信息，轉化為對新運算定義的理解，以及對運算順序的要求，并且根據定義和運算順序的要求正確進行運算.

2. 突出三大能力，保護新增專題

高考具有人才的選拔功能，對實施新課程能起指揮作用. 新課程的內容專題由于高考而得以鞏固，新課程的教學效果在高考中得以檢驗，新課程的某些偏難偏多偏深的專題由于高考而得到適當的調整.2010年高考在加強對空間想象、推理論證、運算求解、抽象概括、數據處理等五大能力考查的基礎上，對課程的新內容、新專題給予特別的呵護，透視出數學課程的新理念和新內容的重要信息.

2010年試題(理科卷)的分值分布，五個必修模塊的分值大致均勻，說明高考重視基礎知識與基本能力的考查，而且顯示重心向選修課傾斜，選修2、選修4所占權重加大，這兩個系列共計占65分，超過五個必修模塊的平均水平.

(1)加大對概率統計考查的力度

概率統計是高中課程的新增內容，也是課改的重點. 這反映了隨機思想的重要性及應用廣泛性. 縱觀近三年的概率考題，發現一些考點頻繁出現. 有些考點每年都考，如文科卷中，頻率分布直方圖、古典概率、系統抽樣與分層抽樣等是常考點;在理科卷中，頻率分布直方圖、隨機變量概率分布列、數學期望等是常考點. 2010年試題中，文科卷新考了回歸分析、獨立性檢驗、分層抽樣、概率等;理科卷新考了超幾何分布、二項分布、正態分布等. 經過幾年高考的磨練，新課程中的概率統計主要內容，基本上被各年試題所覆蓋.

(2)促進選修專題調整，減輕師生課業負擔

選修課在高考中的地位，歷來受到師生關注，因為它涉及課程與教學的安排. 五個必修模塊以及選修系列1、2分別是文、理科數學的基礎，進入高考已經不容置疑.選修3當前暫不進入高考， 選修4的地位逐步明朗. 全國考試中心規定選修4的四個專題進入高考，而廣東省限制為其中的三個專題，即:幾何證明選講，坐標系與參數方程，不等式選講，這有利于學生明確復習方向，減輕負擔.

(3)不等式的地位進一步提升

2010年高考進一步把“不等式選講”升格為指定選考內容，這就突出了不等式的重要性. 如果說過去考不等式還有點躲躲閃閃，那么，現在不等式就可以大大方方地進入高考，其考題形式也不受限制了. 不等式在2010年試題中處于顯著的地位，不但理科考，文科也考，而且都放在壓軸題的位置上.事實上，現實世界中的量的關系，大部分是不等關系. 不等式從來是，現在仍然是中學數學的難點. 這給今后的數學教學與備考，發出了重要的暗示.

3. 注意補缺補漏，加強薄弱環節

課改初期，課程中擴大了幾何中的公理體系，降低了習題、例題的難度與復雜程度，數學推理論證的要求有一些減弱，這種做法引起不少專家、學者與教師的批評.為了彌補學生推理論證能力的失缺，教材中分別增加了“推理與證明”、“邏輯用語”的知識，在選修4中又增設“幾何證明選講”，這些改變已經反映在高考試題中. 2010年試題中，不但設置了考查“幾何證明選講”的試題(理14，文14)，又分別設置了立體幾何、平面解析幾何論證的試題(理18，21;文18， 21)，兩卷的解答題中，對推理論證能力都作了明確的要求.

4. 反映運動變化，暗含辯證觀點

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的有力工具. 利用它，可以探索點的運動，分析圖形的變化，尋找數學對象在運動中的規律性. 新課程提倡自主探索、獨立思考、動手實踐、積極探究等新型的學習方式，鼓勵學生學會理性思考. 2010試題給考生提供了獨立思考的廣闊空間，讓考生在多種水平上探索發現數學的規律，從而展示數學思維的才能.

理科卷20題已知-y2=1雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2，點P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;(2)若過點H(0，h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.

分析:由雙曲線-y2=1的頂點出發，分別引出兩條動直線A1P與A2Q，探究兩條動直線交點R(x，y)軌跡，它恰是與已知雙曲線-y2=1在結構上對偶的橢圓+y2=1.(如下圖)，在探索與該橢圓相關的幾個特殊點時，發現考生有不少差錯或漏洞. 考生在求軌跡的過程中也遇到不少障礙，例如不能夠有效地利用原有的雙曲線方程;求出軌跡方程+y2=1后，許多考生不能根據題目條件x≠0且x≠±排除A1，A2兩點等.這說明學生的基本運算能力還有待提高.

文科卷21題已知曲線Cn:y=nx2，點Pn(xn，yn)(xn>0，yn>0)是曲線Cn上的點(n=1，2，…).(1)試寫出曲線Cn在點Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標;(2)若原點O(0，0)到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點Pn的坐標(xn，yn);(3)略.

題中所給的曲線是二次函數族，曲線隨著n而改變，點Pn(xn，yn)，(xn>0，yn>0)是曲線Cn上的動點，具有可變性. 隨著點Pn在曲線上位置的變化，切線ln的斜率也在改變，線段PnQn的長，原點O到切線ln的距離OQn也在改變，從而線段長度的比=也在變化(如下圖). 然而，當Pn(xn，yn)，(xn>0，yn>0)，在某個位置:(，)時，上述長度之比具有最大值，這恰恰反映了運動圖形的不變性質. 在解決問題的過程中，需要用到求導的知識、導數的幾何意義、切線方程、點到直線距離、不等式、最大值等一系列重要的基礎知識和數學思想方法. 因而該試題能夠檢查考生的探索能力與綜合運用能力.

5. 鼓勵理性思考，展示數學魅力

高中數學課程的目標是:“理解基本的數學概念，數學結論的本質，了解概念產生的背景，應用，體會其中所蘊含的數學思想和方法.”這既是課程的目標，也是教學的目標，2010試題很好地體現了這一目標，展示了數學的無窮魅力.例如理科卷21題，既站得高看得遠，也能落實于最基本的概念，試題給考生設計了思考與探索的廣闊空間，也預留了得分的多種途徑.

理21題設A(x1，y1)，B(x1，y1)是平面直角坐標系xOy上的兩點，現定義由點A到點B的一種折線距離(A，B)為(A，B)=x2-x1+y2-y1. 對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)若點C(x，y)是平面xOy上的點，試證明: (A，C)+(C，B)≥(A，B);(2)在平面xOy上是否存在點C(x，y)，同時滿足① (A，C)+(C，B)= (A，B);②(A，C)= (C，B). 若存在，請求出所有符合條件的點;若不存在，請予以證明.

分析:(1)試題給考生平面直角坐標系xOy上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間折線距離的定義，該定義考生在課本與參考書上未曾遇到過，為了解決問題，需要閱讀定義，研究問題的條件，弄清需要證明什么，探究什么?考生需要把題設的距離與課本中的兩點的線段距離聯系起來，把題設不等式兩邊化為用絕對值不等式表示，然后利用絕對值不等式的性質完成待證的第(1)小題. 這也是對我省考試說明關于把不等式作為指定選考內容的回應. 距離，是數學中的基本概念，具有①非負性，②自反性，③三角形性質，這些性質具有一般性. 本題所說的折線距離，也具有這些性質，而且要求考生用所學過的知識證明其中第③個性質. 可見該試題立意高而落點恰當.

(2)是研究性問題，點C(x，y)到A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點折線距離之和，恰等于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點的折線距離.這容易想到把題中的距離與過去學過的距離作出想象與比較.為了滿足條件①，只要x1≤x≤x2，y1≤y≤y2，如右下圖所示.為了滿足條件② ，容易想到，只要點C是線段AB的中點即可.事實上，只要把折線距離簡化為兩點間的直線距離即可，這又使人聯想更簡單的情況，如果x1=x2，y1≠y2，可求出x=x1=x2，y=;如果x1≠x2，y1=y2，可求出x=，y=y1=y2. 當然，還要就x1≤x≤x2，y1≤y≤y2的一般情形，找到點C(x，y)的坐標應該滿足的條件. 這對考生的數學能力提出了較高的要求.

6. 美中仍有不足，師生寄予厚望

縱觀2010年試題文理兩卷，題意新穎，表述清楚，較好地執行了課標與考綱的精神，文科與理科的考點，既有相同，又有顯著差異;總體難度下降，利于考生充分發揮其才智;評分標準制定合理，便于評分人員掌握. 為便于今后高考試題設計更加精美完善，茲提出一些改進期望.

(1)細致考慮文科與理科考生數學能力的差異.文科考生的數學基礎弱于理科考生，對他們的數學思維與能力的要求應該適當降低.2010年試題文理兩卷的難度差異基本合理，仍有個別不當，例如文科卷21題與理科卷21題相比，對于文科生而言，難度是大一些，即使理科生做文科卷21題也有一定的困難.

(2)同大題的分步設問應該緊密聯系，自然銜接. 文科卷21題的前兩問立意很好，能展示數學思想方法的魅力，但是加上了第(3)問，顯得有些不自然. 況且答題需要使用不等式較多技巧，超出對文科不等式的要求.

(3)文字表述力求清晰，避免漏洞. 引導學生答出考出真實水平，避免學生因文字歧異而誤答.

責任編輯羅峰