數學思想方法及其應用

摘要：數學思想是數學內容的進一步提煉和概括，是對數學內容的一種本質認識，數學方法是實施有關數學思想的一種方式、途徑、手段。本文對方程思想、分類討論思想、函數思想、數形結合思想、轉化化歸思想這五種思想方法及其應用進行討論。

關鍵詞：思想方法 問題 規律 轉化

[中圖分類號]：H09 [文獻標識碼]：A [文章編號]：1002-2139(2010)-04-0089-01

數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點。數學思想方法是數學知識的精髓，也是知識轉化為能力的橋梁。它在認識上被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是在有關數學活動中積累起來的數學研究和數學問題解決得以完成的途徑和手段。數學方法是指數學方面提出問題、解決問題(包括數學內部問題和實際問題)的過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。數學思想與數學方法緊密聯系，它們對數學知識的學習、理論的掌握、問題的解決有重要意義。

一、數學中的方程思想

在解決數學問題時，有一種由未知向已知的轉化手段，就是通過設元，構造方程或方程組，然后求解方程。完成未知向已知的轉化，這就是方程思想。著名的數學家笛卡爾的方程思想是這樣的：實際問題一數學問題一代數問題一方程問題。在巨大的宇宙世界里，存在著等式和不等式。大家都知道，在哪里有等式，在哪里就有方程；在哪里有公式，在哪里就有方程；數學中的求值問題是通過解方程來實現的：其實不等式問題也與方程是近親，他們的關系很近。但函數與多元方程沒有本質的區別，例如函數y=f(x)，可以看作關于x、y的二元方程f(x)-y=0。我們因此可以這樣說，函數的研究離不開方程。在列方程、解方程過程中，都是應用方程思想的時候需要我們著重考慮的。

二、數學中的分類討論思想

數學中的分類討論思想在解答某些數學問題時，經常會遇到很多情況，我們需要對各種情況加以分類、逐類求解，最后綜合得到答案，這種方法就是分類討論法。其實分類討論是一種邏輯方法，這種方法是一種重要的數學思想，也是一種重要的解題策略，這種方法體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

在解題過程中引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

A問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。這種分類討論題型可以稱為概念型。

B問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制?；蛘呤欠诸惤o出的。這種分類討論題型可以稱為性質型。

c解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。這稱為含參型。

我們在解答分類討論的題時，基本方法和步驟是：第一要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍：第二要確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；第三是要對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；第四是要進行歸納小結，綜合得出結論。

例某校組織部分師生外出參觀。已知從學校到參觀地的全程票價為25元，對于集體購票，客運公司有兩種優惠方案可供選擇。方案1：所有師生按票價的88％購票；方案2：前20人購全票，從第21人開始，每人按票價的80％購票，若你是組織者，請說明選擇哪種方案較為合算?分析對于方案2，應對外出人數進行分類討論。設外出師生的總人數為x人，按方案1購票的總費用為yl元，按方案2購票的總費用為y2元，則有：(1)當O20時，y1=22x，y2=(x一20)x 25 x 80％+20 x 25=20x+100，y1、y2相比，其大小關系要分為以下三種情況：其一，22x>20x+100，這時，x>50，y1.>y2；其二，22x=20x+100，這時x=50，yl=y2；其三，22x<20x+100，這時x<50，y1.50時。y1.>y2選擇方案2較為合算。

加強分類思想的教學，對于發展學生思維的縝密性、深刻性和靈活性是很有幫助的。

三、數學中的函數思想

主要是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。數學中的方程思想，主要是指從問題的數量關系入手，有效的運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲的答案。這種方法還實現函數與方程的互相轉化、接軌，從而達到解決問題的目的。

四、數形結合思想

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既要分析其代數意義，又要揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，只有充分利用這種結合，巧妙的尋找解題思路，才能使問題化難為易、化繁為簡，最后解決問題?！皵怠迸c“形”的存在是一對明顯的矛盾，在宇宙問萬物中。沒骨不是“數”和“形”的矛盾的統一。在數學中，有的本身就可以看作是數形的結合。例如；銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；幾何中任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。

五、數學中的他歸思想

這種思想可以幫助我們把陌生的問題化歸為熟悉的問題；可以把復雜的問題化歸為簡單的問題；從而把抽象的問題化歸為具體的問題；也可以把疑難的問題化歸為易解的問題。

從一定意義上說，轉化思想是數學思想方法的核心，其他的數學思想方法可以看成是轉化的手段和策略。因此，在綜合解題時應用轉化思想將更加精彩，經常有意識的訓練對提高邏輯思維能力將大有益處。