在解題中培養數學反思習慣的嘗試

摘 要：在解題中培養學生的數學反思習慣，應從調查學生解題現狀入手，明確數學反思的目的意義，抓住解題的關鍵步驟，不斷優化解題訓練，達到培養反思習慣、提高解題能力的目的。

關鍵詞：數學； 解題； 反思； 習慣

中圖分類號：G623．5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2010）11-006-002

在初中數學教學中，解題是使學生牢固掌握數學基礎知識和基本技能的必要途徑，也是檢驗知識、運用知識的基本形式。費賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力”， 只有通過不斷地反思，掌握解題規律才能提高學習效率，提高解題能力。在實踐中，筆者對如何在解題教學中培養學生反思習慣作了初步的嘗試。

一、針對解題現狀，明確反思的目的和意義

1．堪憂的解題現狀

由于初中生的年齡特征以及數學認知結構水平的限制，再加上非智力因素的影響和“應試教育”的壓力，學生在學習過程中往往對基礎知識不求甚解，對基礎訓練不感興趣，雖熱衷于大量解題，但不善于（甚至是不愿意）對自己的思路進行檢驗，也不會對自己的思考過程進行反思，不會分析、評價和判斷自己思考方法的優劣，不善于發現和糾正自己的錯誤。因此，學生解題時缺乏對解題方法、題解中反映出的數學思想方法等的反思總結，從而導致獲得的知識系統性差、結構性差。同時，由于不少教師習慣使用灌輸式的教學方式，經常使用題海戰術，過分注重講題和學生做題的數量，不注重學生的反思習慣的培養，導致學生“一聽就懂，一做就錯，一難就怕”。這種令人堪憂的現狀，不但影響到解題教學的有效性，而且直接影響到學生數學素養的提高。

2．反思的目的和意義

美國數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中說：“如果沒有反思，他們就錯過了解題的一個重要而有效益的方面。” 新課程理念倡導的數學反思活動，是一種積極的思維話動和探索行為。它要求教師積極指導學生開展解題反思，培養他們的反思能力，指導學生對客觀事物中所蘊涵的數學模式進行思考，從而幫助他們從題海中解脫出來，更加清晰地認識問題、理解問題。這樣做，有利于學生鞏固、同化新知識，準確把握新舊知識間的內在聯系；有利于學生選擇合理、簡捷的解題途徑，并發現新的規律加以推廣與延伸；有利于提高學生的數學思維能力和解題能力。實踐表明，學生的解題反思習慣能否養成，與教師在教學實踐中有沒有解題反思的意識有關。一個好的教師首先自己要有解題反思習慣，才能有效培養學生解題反思的習慣。而良好反思習慣的養成，不僅使學生由被動的機械學習提升為高品位的智慧學習，而且能減輕學習負擔，有效提升數學素養。

二、抓住關鍵步驟，培養學生解題反思的習慣

1．題前仔細審題，培養反思習慣

審題是解題過程的首要步驟，一定要善于發現題目中的隱含條件和關鍵詞語，以防掉入命題者所設置的陷阱。只有在平時解題時多加反思，做到細心審題，認真檢查，養成全面考慮問題的習慣，才能有效地避免解題過程中的疏漏，克服思維的片面性，養成嚴謹縝密的思維品質，提高解題能力。對一些簡單的基本題，只要認真審題，一般來說并不困難。然而對于那些要求綜合或靈活運用知識來解答的題目，審題的要求就比較高了。因此，教師要指導學生在反思過程中考慮：這個題求什么？知道什么？知、求之間有什么關系？學過什么？解這樣的題目要用到哪些知識？有什么樣的常規方法？有沒有特殊的方法？等等。通過學生的分析、討論和總結，讓解題思路顯得自然而有條理。即使有些學生剛開始拿到問題無從下手，不能解答，但通過參與審題思路的反思討論，也能夠清楚困難是什么，如何轉化條件，從而達到順利解決問題的目的。長期堅持，就能養成理清解題思路再實施解題的習慣，而不是盲目的、無計劃的解題，從而不斷提高解題效率。

2．題后梳理解法，培養反思習慣

當一道數學題解完以后，學生習慣就此了事，而對“這道題我是怎么做出來的？”“還可以怎么解？”“還有沒有更巧妙的解法？”等問題很少甚至根本不去思考。正是由于他們對每道題的解法都處于一鱗半爪、僅是零星的感性認識就淺嘗輒止，才造成做過、講過的習題永遠停留在“白頭如新”的層次上。因此，筆者經常要求學生在解完題后要學會“站一站”和“想一想”。想想此題都應用了那些定義、定理或法則？是如何證明、計算的？然后同桌之間互相說一說、口述一遍思路和解法，直到對方認可，沒有疑問后才算真正解完題。實踐表明，梳理解法是喚醒、培養學生反思意識的重要措施，學生在描述、追問的梳理過程中，能充分意識自我的存在和思維的魅力，借反思這根“金線”穿起散落的思維之“珠”，對活躍思路、開闊視野、提高解題能力大有裨益。如求證：正三角形內任一點到各邊的距離和是一個定值。在證明完成以后，可以引導學生通過解后反思將它向縱向和橫向推廣，從而得到如下兩個命題：（1）正多邊形內任一點到各邊距離之和是一個定值。（2）正多面體體內任一點到各個面的距離之和是一個定值。這兩個命題分別可以用面積法和體積法來證明是正確的。這樣，學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，使思維進入理性認識階段，取得事半功倍的效果。

三、優化解題訓練，培養學生解題反思的習慣

1．尋找最優解法，培養反思習慣

不少學生常會覺得自己雖然做了很多習題，但是能力沒有明顯提高，因而感到非常困惑。究其原因，在于學生在解題時往往僅僅滿足于找到題目的答案，而對于自己解題方法的優劣，卻從來不加研究，作業中經常出現解題過程單一、思路狹窄、解法陳舊、邏輯混亂、敘述冗長、主次不分等不足。這是學生思維過程缺乏靈活性、批判性的表現，也是學生的思維創造性水平不高的表現。因此，教師要有意識地啟發、引導學生及時反思自己所選擇的解題方法是怎么想到的？是否還有其他解法？所選的方法是不是最合理、最簡潔、巧妙？等等。可通過引導學生重新審視自己的思維過程，不斷變換角度尋找、觀察題目所獨具的基本特征，努力對現有的解法作些改進與優化，主動尋找解決問題的最佳方案。這樣，不僅能夠使學生對所學知識的靈活運用有進一步的認識，而且對知識的內在聯系脈絡了解得更清楚，解起題來更加得心應手。同時，還有利于開闊學生的視野，不斷提高學生的概括能力，促使學生形成一個系統性強、著眼于相互關系的數學認知結構。

2．重視變式發散，培養反思習慣

數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特征卻不變。數學教學，使學生理解、掌握數學知識僅僅是一個方面。更重要的，還在于要培養學生的數學思維能力，掌握數學的思想和方法。而解題的變式訓練其實就是追求創新、不斷優化解題訓練。當然變式發散不是盲目的變化，而應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變化。筆者在反思訓練中，經常鼓勵學生挖掘例題和習題的內涵，并將之打散、重組，一題多變，自己設計變式練習。與此同時，我還十分重視一題多解的訓練。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性。

例如在學習等腰三角形的判定時，例題是這樣的已知：如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上， CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分別為D、E，∠1=∠2

求證：三角形ABC是等腰三角形

這題學生一般想到利用兩個三角形全等來證明AB=AC，利用等腰三角形的定義得到三角形ABC是等腰三角形，我繼續引導學生思考能否有其他的方法證明，并適時提問還有沒有其他方法證明△ABC是等腰三角形，學生馬上想到剛學的在一個三角形中等角對等邊的知識，于是把問題轉化到如何證明∠ABC=∠ACB，通過學生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形內角之和為180度得到兩個角相等。這題從不同的角度進行多向思維，把各個知識點有機地聯系起來，使學生觸類旁通，發展了學生的多向思維能力。