家庭計劃\\人口變動和經濟增長

[摘 要]本文是在假定家庭出生人口內生和一個增長的人力資本收益率的基礎上來分析人口變動和經濟增長。目標在于構建一個模型來說明上個世紀中國的計劃生育政策對中國人口變動的影響。我們證明了中國的獨生子女政策導致了中國的人口由一個低水平的均衡轉變到了一個高水平的均衡。在我們的模型中，最重要的假設就是人力資本收益率是由人力資本的累積程度所決定。當人力資本豐富的情況下，人力資本收益率和人口出生率有很高的相關性;在另一方面，當人力資本相對稀少的情況下，人力資本所導致的產出率比人口出生所導致的產出率低。因此，在一個人力資本有限的社會中，將會出現高生育率低人力資本累積率，而人力資本豐富的社會則是相反的情況。這種情況導致了兩種不同的均衡。一個是具有高生育率和低人力資本的低水平均衡，另一種是低生育率和高人力資本的高水平均衡。

[關鍵詞]計劃生育 人力資本 經濟增長

一、關于人口研究的背景及本文的研究簡介

本文的主要目的在于對中國的計劃生育政策(獨生子女政策)進行評估。我們證明了中國的人口政策可以讓家庭對人力資本的投入增加而不是養育更多的子女，這一政策使得中國的經濟由低水平均衡轉向了高水平的均衡。

人口經濟學起源于湯姆斯.馬爾薩斯，他發展了一個動態的增長模型用于解釋每個國家最后都收斂于一個穩定的平均資本收入。而中國的歷史可以很好的解釋這一點:在過去的幾千年中，中國社會財富存在一個繁榮和衰退的交替，這其中一個非常重要的經濟學因素就是這種類似于商業周期的興衰過程也體現在人口的數量上面(曹康，中國歷史中的人口和土地:經濟分析)。根據馬爾薩斯的理論，當收入超過均衡水平時，通常伴隨著死亡率降低和生育率提高，當收入低于均衡水平時，通常伴隨著死亡率提高和生育率降低。雖然馬爾薩斯的理論可以解釋農業社會中的人口變化，但是不能很好的解釋在轉型社會中人口的變化。在過去的150年間，西歐和美國的許多國家都經濟了生育率降低而收入增加的這個過程。

同時，從馬爾薩斯的理論中分離出來的新古典模型得出了一個新的結論:在經濟增長和人口之間沒有直接的關系。這是通過調整投資在勞動力資本上面的資源而導致了經濟收斂到均衡的狀態。當人均資本收入超過均衡的狀態時，在勞動力資本上面的投資將會減少，反之亦然。通過這種方法，新古典經濟學很好的解釋了發達國家的經濟增長現象。但是，對于處于由農業社會向工業社會轉型的發展中國家而言，關于動態的人口變化對于經濟增長的影響的研究非常的重要，因此對于中國這樣實行了人口政策的國家而言，這方面的研究對以后中國的人口政策和經濟政策都有十分重要的參考作用。

在考慮了以上的因素以后，本文將會把馬爾薩斯與新古典經濟學的模型綜合起來，同時從生育率與人力資本方面來考慮經濟增長，假設內生的生育率和隨著數量增加而投入減少的勞動力資本。本文主要的假設在于當人力資本的數量很少時，人力資本的收益率低于嬰兒的出生率，而當人力資本豐富時，人力資本的收益率高于嬰兒的出生率。這將會導致兩個均衡的結果。

在第二部分，我們將會創建一個模型，這個模型將會解釋在生育約束存在的情況下，最優的人力資本將會跳到一個相反的方向。而這個動態的過程將會導致經濟發展從一個低水平的均衡轉向收斂于一個高水平的均衡。

二、模型及基本定理

為了保證文章的完整性，筆者重組了貝克的論文中所提到模型(參見Gary S. Becker， Kevin M.Murphy and Robert Tamura)。在這個部分中主要說明了關于人力資本和個人效用函數的一些假設，從此可以得出兩個穩定狀態的一些定理。在第一個狀態人力資本幾乎為零而生育率非常高，而在另一個狀態人力資本非常高而生育率很低。

本文的第一個假設是關于效用函數，我們假設每個人存活兩期，幼年時期和成年時期。我們同樣假設家長對自己的孩子非常寵愛，家長的效用函數依賴于他們自己的消費及每一個孩子的效用情況。

一個在第i期的成年人的效用函數可以表示為:

(1)

在這里ci是他自己的消費情況而v(ci)是由這個消費所帶來的效用，ni是孩子的數量，a(ni)衡量家長對每個孩子的寵愛程度，Ui+1是每個孩子的效用函數。同樣我們強調a(ni)滿足以下的形式:

(2)

從這個等式我們可以看出，當一個家庭中子女的數量增加時，對每個孩子的寵愛程度將會減少。采用歸納替代以后我們可以得到一個動態的效用函數:

我們同樣假設:

(4) 我們假設當用更多的資源用于人力資本的投資而不是消費時，人力資本的產出將會增加。 在新古典經濟學的模型中，當勞動力資本數量增加的時候投資在勞動力資本上的收益率會降低。但是對于人力資本而言相同的結論卻不成立。一方面是因為人力資本和勞動力資本的不同在于它是作用于具體的個人。當目前的人力資本的積累非常巨大時，投資在人力資本說帶來的邊際收益率會傾向于提高而不是降低;另一方面，人力資本也屬于一種知識，因此它可以被復制，所以投資于人力資本的話會帶來正的外部性。基于以上的理由，我們可以得出這樣的結論，那就是人力資本的收益率會隨著人力資本數量的增加而增加。在我們的模型中，我們假設人力資本的收益率會隨著人力資本數量的增加而增加。當人力資本數量很少的時候，人力資本的收益率低下，而隨著積累的增加人力資本的收益率將會增加直到無法吸收更多的知識的時候，人力資本的收益率才會降低。

在圖1當中，在t時刻(t(Ht))平均每個工人的人力資本會隨著橫軸變化，在t+1時刻的人力資本會隨著縱軸變化，而勞動力資本忽略不計。投資在人力資本上的收益率R(H)提高了H。當H是在原點的時候，所有值都非常的低。而用于未來消費折舊的a(n)-1在原點卻非常的高，這是因為它與生育數量n存在負的相關性，所以當H很低的時候，a(n)-1會非常的高，這是因為在這個時候花費在生育子女和教育上面的開銷非常低。因此當H=0的時候，用于未來消費的折舊率將會超過投資的收益率。

(5)

這個不等式是當H=0的時候能夠達到均衡狀態的一個充要條件，因為當投資收益率比消費折舊率低的時候，理性的個人會更傾向于消費而不是投資。更重要的是，這個均衡狀態是一個局部穩定，當H等于一個非常小的正數是，這個不等式也是成立的，而只要不等式(5)成立的話，根據圖1，這個經濟體就會收斂于U點。

但是當投資于人力資本的資源達到一定的數量時，投資于人力資本的收益率也會提高，同時生育人數n會降低，這是因為生育的成本將會增加，Rh增加，H增加，而a(n*)-1會減少。因此當H非常大時，為了達到均衡狀態以下的等式必須成立

(6)

在這里n*表示均衡狀態時的生育率。

接下來我們將會用模型來說明均衡的類型和以上討論內容的動態過程。為了能夠和生育率，人力資本很好的聯系在一起，我們會忽略勞動力資本并且假設在消費，人力資本和生育率部分的產出單一。

我們同樣假設每個人都存活兩期，即是幼年期和成年期，成年人工作T小時并且在他幼年的時候會花費所有的時間用于人力資本的投資。一個成年人將會在成年期的開始選擇生育n個孩子，而養育孩子將會帶來時間和資源的消費，v表示成年人養育每個孩子所花費的時間，f表示投資在每個孩子上面的資源。每一個后代都會有Ho的人力資本的稟賦。而人力資本的產出由他們父輩的人力資本所決定，當他們的父輩具有先進的知識的時候，這樣的優勢將會被子女所繼承。其次，人力資本的產出率還取決于花在教育上面的時間，當父母愿意花更多的時間教育子女的時候，子女將會從父母那里繼承更多的知識，從而子女所擁有的人力資本會更多。假設這是一個道格拉斯生產函數，然后把Ho和Ht代進去，我們可以得到:

系數A用于衡量投資的產出率，表示了H0到Ht之間的轉換率。

而消費函數也同樣是一個道格拉斯生產函數

(8)

這里c表示平均每資本成人的消費量，D表示消費部門的產出率，lt表示花費在消費品產出上的時間，d表示Ho和Ht在消費部門的轉換率。由于生產函數是道格拉斯生產函數的形式，所以時間和人力資本是與生產消費商品聯系在一起的，同時這個函數還滿足規模報酬不變。

最后，時間約束為:

(9)

父母在(7)(8)(9)的約束下實現動態的效用最大化:

(10)

我們采用貝爾曼方程進行求解，用v(Ht)表示方程的值，最優結果可以表示為:

(11)

在t和t+1時期平均每資本消費的套利約束是:

(12)

在這里rht是投資在人力資本上的收益率，當投資是正數的時候成立。 這個收益率可以表示為:

(13)

在貝爾曼方程中通過對Vt進行nt的求導我們可以得到使得效用最大化的一階約束條件為:

(14)

當H=0時，方程(12)變成嚴格不等式:

(15)

在這里nu表示低水平均衡時的生育率。當父母選擇高的生育率的時候這個不等式成立。當H=h=0時，我們可以簡化等式(14)為:

(16)

等式的左邊是在均衡時刻從子女那里所得到的經濟上的收益率，分子上面(T-vnu)Ho是從養育子女所得到的潛在收益，減去養育子女的花費，除以父母用于生育子女上面所損失的消費，所以這個比例表明了從生育子女那里所獲得的收益。當用于生育子女的時間(r)和資源(f)相對比較小的時候，從生育子女那里獲得的收益就會比較高。因此，當生育子女的花費比較低的時候，父母會更愿意多生孩子。而一個比較高的生育率將會導致父母投資在子女上面的人力資本就會比較低。當H=0的時候，將會達到均衡的狀態。

定理一:當H等于某些正數的時候這個均衡也成立。這種均衡成立的條件是Ht+1

證明:人力資本數量上面的提高將會提高平均沒資本的收入，這是因為它會對生育率產生一個正的收入效應和一個負的替代效應。從等式2.16可以推出，當人力資本提高H，我們可以得到以下的一個等式:

(17)

且滿足

在這里收入效應表現為而收入效應表現在分母上面，增加的人力資本將會提高生育子女的費用。在一個人力資本非常少的經濟體中，如果f將主要用于養育子女的話收入效應將會更加的顯著。

但是當經濟體已經存在非常豐富的人力資本時，在人力資本和生育之間這種正的相關性并不成立。因為投入在生育孩子上面的收益率將會提高到與未來消費折舊同樣的高的程度，這會導致父母會在子女上投入更多的人力資本。而這個數量的投入并不能維持人力資本的數量，所以經濟體會向低水平的均衡收斂。

當人力資本的投入增加從而達到一定的數值時，這時候已經投資的數量會超過最初的數值H，用于生育子女的花費f將會與時間成本(v+h)H沒有多少相關性，經濟體將會收斂于一個具有一定的生育率(n*)，穩定的教育時間(h*)和穩定的關于H和c(g*)的增長率的增長的均衡路徑(Tamura[1989]證明了這條路徑的穩定性)。

穩態時n*和h*的值可以從一階條件得出:

當等式(21)右邊的數值大于1時，均衡狀態時的增長速度是存在的。等式(21)和(23)說明了投資(A)的增加提高了均衡時刻的增長率和生育率。同時通過比較等式(16)和(13)中nu的數值，我們還可以發現每資本的收入水平和生育率是有很大相關性。

三、生育約束時最優的增長率

假設1:我們假設nu > θ ≥ n*，在這里nu、n*表示在低水平均衡和高水平均衡時的最優生育率。

假設2:我們假設在執行計劃生育政策之前，經濟體處于一個高生育率和低人力資本的低水平的均衡狀態。

假設3:

這個假設隱含的內容是說明在眼里的生育政策下，投資于人力資本的收益率A(T - vθ)比未來消費的折現率α_1θε要高，人們更愿意選擇投資于人力資本的生產。

在這些假設條件下，假設從時間t開始，政府部門執行一個嚴格的生育政策，把生育率規定為θ，這是對每個人效用最大化的方程變為:

(24)

且

定理2:在假設1和假設2的條件下，當生育政策執行以后，最優的人力資本水平將會從0跳到一個正值，。

證明:很顯然，從之前的假設中我們可以得出在生育約束的情況下，應該大于0。

定理3:存在生育約束時，最優的生育與無關。

根據定理2，我們可以得出:

(25)

這里有兩種可能性存在。第一種情況是，是在沒有生育約束的情況下一個關鍵的點或者是一個不穩定的狀態。而生育政策的實施將會給人力資本的累積帶來一個正的外部沖擊，但是，這個外部沖擊并不一定能夠離開低水平的均衡路徑。從(7)可以知道，當人力資本很低的時候，A的產出同樣很低，投資在人力資本上的資源并不能夠使人力資本保持在當時的水平，因此經濟體將會向低水平收斂直到H=0。如果政府希望能夠擺脫低水平的均衡路徑，一個寬松的計劃生育政策并不有效，盡管人力資本能夠暫時的達到比較高的水平，但是隨著時間的推移又會回到原先的水平(見圖3)。根據定理3我們可以知道，只有一個嚴厲的生育政策才能夠提高最優的在人力資本上的投資。這樣的政策可以使得經濟經過關鍵點從低水平路徑跳到高水平路徑從而收斂于一個高水平的均衡。

這個模型隱含的結論就是，當存在兩個生育約束政策時，一個短期的嚴厲的政策要比一個長期的寬松的政策更為有效。因為一個嚴厲的政策可以使得人力資本跳到一個較高的水平，尤其在現代的壞境中，知識的傳播更快捷，同時對于人力資本需求的成本也在降低。盡管寬松的生育政策持續的時間很長，它并不能使人力資本達到一個很高的水平從而無法跳出低水平均衡的路徑。

四、總結

在本文的模型中，我們發現中國的計劃生育政策使中國經濟的發展實現了從低水平均衡向高水平均衡跳躍的過程。而這個結論和中國近年來的經濟發展也十分的吻合。在這個模型中，我們還比較了一個寬松的人口政策和一個嚴格的人口政策的區別，結果發現一個短期的嚴厲的人口政策對于經濟的發展更為有效。中國的計劃生育政策給我們提供了一個很好的研究的對象，從這個模型中我們發現人們在有生育政策的約束下如何選擇自己的生育率，特別是在一個農業社會向工業社會轉型的時期。

參考文獻:

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