套利定價理論研究

摘要:套利定價理論(即APT)是一種不要求遵循均值-方差收益原則，而從市場的套利論證中推導(dǎo)出資產(chǎn)價格的區(qū)別于CAPM的新方法。在給出了APT的前提假設(shè)后，首先對與APT推導(dǎo)相關(guān)的單因素與多因素模型進(jìn)行了簡要分析，其次就APT的推導(dǎo)過程進(jìn)行簡要描述，然后從區(qū)別、一致性兩方面對比了APT與CAPM，最后闡述了APT的應(yīng)用領(lǐng)域并給出了評價。

關(guān)鍵詞:因素;套利;因素敏感度;無風(fēng)險利率;純因素;預(yù)期收益

中圖分類號:F83

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)16-0211-01

斯蒂芬·羅斯在1976年提出了套利定價理論(APT)。這是一種基于一價定律的確定資產(chǎn)價格的方法。一價定律指出:如果兩種資產(chǎn)在所有經(jīng)濟(jì)意義的相關(guān)方面都相等，則它們的市場價格應(yīng)相同。套利者則利用了一價定律，一旦發(fā)現(xiàn)有違背定律的情況存在，他們就開始實施低買高賣的套利行為，直到套利機(jī)會消失。因此，APT就是在給定證券收益的產(chǎn)生過程，從套利論證中推導(dǎo)出資產(chǎn)價格。

首先給出APT的模型公式:

E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2+…+bim·λm

E(ri)表示風(fēng)險資產(chǎn)i的預(yù)期收益，rf表示無風(fēng)險資產(chǎn)的收益，bim表示風(fēng)險資產(chǎn)i對第m個因素的敏感性，λm表示影響資產(chǎn)i的預(yù)期收益的第m個因素的值。

APT要求風(fēng)險資產(chǎn)的收益與一組因素線性相關(guān)。這將在之后的論述中結(jié)合單因素模型以及多因素模型對APT的模型公式給予推導(dǎo)及描述。

1 APT的前提假設(shè)

(1)證券收益能用單因素模型表示;

(2)有足夠多的證券來分散掉不同的風(fēng)險;

(3)有效的證券市場中不允許有持續(xù)性的套利機(jī)會。

2 單因素模型

APT所描述的期望收益就是從一個受單因素或者多因素影響的收益模型中推導(dǎo)出來的，而多因素模型實際上就是由單因素模型逐漸加入其它影響預(yù)期收益的因素所推導(dǎo)出來的;另外，就CAPM來說，它可以看做是一種受單因素影響預(yù)期收益的定價模型。因此，我們首先需要對單因素模型進(jìn)行了解。

首先假定任意風(fēng)險資產(chǎn)的收益由一個公共因素F決定。ri表示真實收益，E(ri)表示期望收益值，αi為常數(shù)值，bi表示對公共因素的敏感性(即F對風(fēng)險資產(chǎn)收益的影響)，i表示隨機(jī)誤差。

ri=αi+bi·F+ii

因此由單因素模型決定的風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期收益為:

E(ri)=αi+bi·E(F)

而風(fēng)險資產(chǎn)的方差為:σ2i=b2i·σ2F+σ2n

b2i·σ2F為因素風(fēng)險，σ2n為隨機(jī)誤差項的方差。

由單因素模型決定收益的資產(chǎn)構(gòu)成的證券組合的收益率是:

rp=∑ωi·ri=∑ωi(αi+bi·F+i)

=(∑ωi·αi)+(∑ωi·bi·F)+(∑ωi·i)

=αp+bp·F+p

E(rp)=αp+bp·E(F)

方差為σ2p=b2p·σ2F+σ2ip，(σ2ip=∑ω2i·σ2i)

投資越分散，每種資產(chǎn)的權(quán)重ωi就越小。雖然不會使bp明顯上升或下降，因為bp是許多風(fēng)險資產(chǎn)的因素敏感度的加權(quán)平均，但是可以使非因素風(fēng)險被分散掉，留下來的只有因素風(fēng)險。

3 多因素模型

當(dāng)然，我們很容易可以想到對預(yù)期收益產(chǎn)生影響的可能的因素:利率波動、通貨膨脹率、某產(chǎn)品價格變動等。我們需要利用多因素套利定價理論來處理投資當(dāng)中所面臨的多方面的風(fēng)險。

將單因素模型加入其他任一公共因素構(gòu)成雙因素模型:

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

rp=∑ωi·ri=∑ωi(αi+bi1·F1+bi2·F2+i)

=(∑ωi·αi)+(∑ωi·bi1·F1)

+(∑ωi·bi2·F2)+(∑ωi·i)

=αp+bp1·F1+bp2·F2+p

以此類推，在逐一加入對預(yù)期收益的影響因素后，我們就可以得到預(yù)期收益受多方面影響的多因素模型。

4 APT的描述與證明

根據(jù)多因素模型，某投資組合中的靈敏度是所有證券靈敏度的加權(quán)平均。因此我們可以構(gòu)造某因素有單位靈敏度1，對其他因素有0靈敏度的純因素證券組合。

該證券組合的收益構(gòu)成通常被分解為無風(fēng)險收益率rf以及λ(即每單位靈敏度的某因素的預(yù)期風(fēng)險溢價)。

因此，可把“純因素1”證券組合的期望收益E(rp1)=rf+λ1

而根據(jù)無套利均衡，不同構(gòu)成純因素證券組合的方式之間的差異會在一個迅速的套利過程中平息，因此它將保證任何純因素證券組合都會產(chǎn)生同樣的期望收益(rf+λ)。

我們?nèi)匀贿\(yùn)用雙因素模型來對APT進(jìn)行分析。

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

首先設(shè)定市場中存在足夠多的證券，ωi表示權(quán)重，可以得到

公式一:∑ωi=0，公式二:∑ωi·bi1=0，公式三:∑ωi·bi2=0，公式四:∑ωi·i≈0，公式五:︱∑ωi·E(ri)︱>0

公式一表示該證券組合不需要額外的資金進(jìn)行投資，即這一組合的投資為0;公式二、三均表示不承擔(dān)因素一或者因素二的風(fēng)險;公式四表示殘差風(fēng)險近似為0，即為當(dāng)投資足夠分散時，非因素風(fēng)險會相互抵消而消失不見;對于上述的零投資、零風(fēng)險的組合，那么它的期望收益率︱∑ωi·E(ri)︱必然為零，因此公式五表示存在套利機(jī)會。

假定風(fēng)險資產(chǎn)i的收益與因素1，2之間存在下列關(guān)系:

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

所以對投資者而言，有以下兩種策略:

(1)將現(xiàn)有資金全部投資到風(fēng)險資產(chǎn)i中，

E(ri)=αi+bi1·E(F1)+bi2·E(F2)

(2)以無風(fēng)險利率rf借入資金并分別用βi1，βi2的所占份額投入純因素1的證券組合以及純因素2的證券組合

E(rp)=ωf·rf+ωp1·E(rp1)+ωp2·E(rp2)

因為這兩種策略所對應(yīng)的風(fēng)險是相同的，由一價定律:風(fēng)險相等的兩個組合不可能具有不同的期望收益，所以，在無套利原則的均衡中，

E(rp)=E(ri)

設(shè)(bi1+bi2)>1，所以我們需要按照無風(fēng)險利率rf借入資金以滿足投資組合的需要。另外，實際上ωp1=bi1/(bi1+bi2)，為簡化分析，我們令ωp1=bi1，ωp2=bi2。

則ωf=1-(ωp1+ωp2)=1-(bi1+bi2)

所以，E(rp)=[1-(bi1+bi2)]rf+bi1·E(rp1)+bi2·E(rp2)

而我們前面已經(jīng)討論過了，E(rp1)=rf+λ1，E(rp2)=rf+λ2

因此，E(rp)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2

即:E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2

綜上所述:在均衡條件下，風(fēng)險資產(chǎn)i的預(yù)期收益將等于組合p的預(yù)期收益，即APT要求任何風(fēng)險資產(chǎn)的收益與其決定因素線性相關(guān)，截距即為無風(fēng)險利率。

由此我們也可以推出APT的一般公式:

對于風(fēng)險資產(chǎn)i，受F1，…，F(xiàn)m多個因素的影響，其靈敏度分別為bi1，…，bim，則風(fēng)險資產(chǎn)i的期望收益率為:

E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2+…+bim·λm

5 APT的評價

5.1 優(yōu)點(diǎn)

(1)不要求市場組合的方差/均值有效。

APT不要求以CAPM的嚴(yán)格假設(shè)——投資者都要遵循均值-方差原則為基礎(chǔ)。事實上，APT對于均衡的描述比CAPM更一般化，價格不再僅僅受到均值何方差的影響。

(2)不要求市場處于均衡狀態(tài)。

APT的機(jī)制就是在給定證券的產(chǎn)生過程，從套利論證中推導(dǎo)出資產(chǎn)價格。理性的投資者會消除套利行為并使市場恢復(fù)均衡狀態(tài)，從而推導(dǎo)出資產(chǎn)的預(yù)期收益，最終得到資產(chǎn)的價格。

(3)認(rèn)為系統(tǒng)風(fēng)險受多因素影響，有利于系統(tǒng)性風(fēng)險的結(jié)構(gòu)研究。

APT詳細(xì)的分解了證券風(fēng)險系統(tǒng)的各種構(gòu)成因素，并分析了大量的宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險因素。分解及分析方法有助于系統(tǒng)風(fēng)險的結(jié)構(gòu)研究。

5.2 局限

(1)模型結(jié)構(gòu)模糊。

APT并沒有對因素的數(shù)量及其代表的含義進(jìn)行說明，僅用λm表示，所以，bim以及λm的識別主要依靠計算及判斷。

(2)實證檢驗非常困難。

就目前而言，對APT的實證研究還停留在早期階段。APT的檢驗尤其難以設(shè)計。因為APT本身只是說明了資產(chǎn)定價的一個結(jié)構(gòu)。

APT模型具有一系列優(yōu)點(diǎn)，它并沒有完全占有支配CAPM的地位，在實際運(yùn)用中，我們?nèi)孕韪鶕?jù)不同的投資目的、投資方式等選取適應(yīng)的資產(chǎn)定價模型。

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