淺談初中數學開放題的類型與解題策略

摘 要：近幾年，各省市數學中考題中出現了一種新題型——開放題，這種類型的題讓學生在開放的空間中探求知識，激發學生的創新意識，注重培養學生的發散性思維，符合新教改的特點。

關鍵詞：初中數學； 開放探究； 創新意識； 發散思維； 解題策略

中圖分類號：G623．5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2011）6-034-001

開放性問題內容深刻、背景新穎，綜合性強、解法靈活，有利于擴大學生的思維空間，所以近幾年各省市中考題中開放題越來越成為熱點問題，也是被人們認為是極富有教育價值的一種數學問題的題型。我根據平時的教學實踐，對開放題的七種常見表現形式及相應的解題策略總結如下：

一、條件開放與探究——給出結論，而問題的條件不充分或沒有確定已知條件，即探索結論成立的條件

如：多項式4x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是——(填上一個你認為正確的即可)。分析：本題主要考察完全平方公式。答案：+4x，-4x，-1等。

解題策略：此類題要從所給結論出發，由特殊到一般，經試驗，猜想得出應具備的條件，然后進行證明。可概括為“試驗-猜想-證明”。

二、結論的開放與探究——結論不確定或沒有確定結論

如：請寫出一個二次函數y=ax2+bx+c，使它同時具有如下性質：①圖像關于直線x=1對稱；②當x=2時，y>0;③當x=-2時，y<0.答案——。分析：這是一道開放性試題，答案不唯一，認真分析所給的條件，由①得-b/2a=1，所以b=-2a;根據條件②③便可確定拋物線開口向下及c>0的大體情況。答案：如y=-x2+2x+3，y=-2x2+4x+6等。

又如：已知AB是⊙O的直徑，D點在AB的延長線上，滿足BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，請根據已知條件，寫出三個正確結論（AO=OB=BD外）；①——；②——；③——。分析：本題來源于課本，起點高于課本，主要考察和切線有關的定理，提倡學生積極探索，發展學生的數學能力。答案：CD是⊙O的切線；AB=2BC;BD=BC;∠ACB=90°等。

解題策略：從所給條件出發，探索歸納猜想出結論，然后對猜想結論進行證明。可概括為“探索-猜想-證明”。

三、解題方法開放——思維策略與解題方法不唯一，思維具有非常規性、發散性和創新性

如：服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料，現找出其中的一種，測得∠C=90°，AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切。請設計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）。分析：此題是一道立意很新的運用幾何知識進行裁剪設計的應用題，且具有開放性和探索型。題目要求以畫示意圖的方法作答，解答的關鍵是確定扇形的圓心，可以從圓心在△ABC的三個頂點上和圓心在△ABC的三邊上兩個角度來考慮。

解題策略：從題目的要求及已知條件出發，不能墨守成規，要善于標新立異，積極發散思維，利用分類數學思想優化解題方案和過程。

四、存在性問題的開放——根據已知條件探究結論是否成立

如：已知A（x1，y1)、B（x2，y2)是直線y=-x+2與雙曲線y=k/x (k≠0）的兩個不同的交點。①求實數k的取值范圍；②是否存在這樣的k的值。使(x1-2)(x2-2)=x2/x1+x1/x2.若存在，求出k的值。若不存在，請說明理由。分析：考察根與系數的關系及方程思想。

解題策略：先假設結論某一方面成立，進行推理，若推出矛盾，即否定先前假設；若推出合理的結果，說明假設正確。可概括為“假設-推理-否定（肯定）假設-得出結論”。

五、類比引申型開放——利用所給已知條件或結論推出所需結論

如：已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h。“若點P在一邊BC上，此時h3=0，可得結論h1+h2+h3＝h”。請直接應用上述信息解決下列問題：當點P在△ABC內、點P在△ABC外這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1、h2、h3與h之間的關系如何？請寫出你的猜想，不需證明。

六、歸納總結型開放與探究——根據已有的題目規律探求結論

如：下列圖中有大小不同的菱形，第(1)幅圖中有1個，第(2)幅圖中有3個，第(3)幅圖中有5個，則第(n)幅圖中共有（ ）個。

(1)把任意一個分式除以前面一個分式，你發現了什么規律?(2)根據你發現的規律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式。

解題策略：此類題主要考查學生分析問題解決問題能力，根據已有的圖形或式子的變化規律猜想探求所需結論。

七、信息開放型——根據所給信息尋求答案

例如，初一年級某班教室里，三位同學正在為誰的數學成績最好而爭論。他們的五次數學成績如表Ⅰ所示，這五次數學成績的平均數、中位數、眾數如表Ⅱ所示。

現在這三位同學都說自己的數學成績是最好的。⑴請你猜測并寫出他們各自的理由；⑵三人似乎都有道理，你對此有何看法？請運用統計知識作出正確的分析。

解題策略：認真分析題目條件，利用發散思維解答問題。

開放與探究題充分體現了新的課程理念：即讓學生初步學會從數學的角度提出問題，理解問題，并能綜合運用所學知識和技能解決問題，發展應用意識，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的多樣性，發展實踐能力和創新能力。

參考文獻：

［1］張鳳云.中國教育創新，2010年第13期

［2］新課程標準

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文