利用情景建模 解決數學問題

摘 要：《數學課程標準》指出：義務教育階段的數學課程應該以學生的發展為本，促進學生全面、持續、和諧的發展，使不同的人在數學上得到不同的發展。學生是數學學習活動的主人，教師是數學活動的組織者、合作者、賞識者。

關鍵詞：數學； 模型

中圖分類號：G623．5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2011）6-027-001

《新課標》中指出：“學習有用的數學。”隨著課改的深入開展，實際情景問題應運而生，并迅速發展成為命題的亮點、熱點。實際情景問題是復雜多變的，它貼近生活，為學生所熟悉，且以一定的知識為依托。情景設置的取材廣泛，有社會熱點問題，如環保、納稅、經濟、合理用料等，使問題富有時代氣息；也有日常生活中常見的問題，如購物、統計、幾何圖形的計算等。解決實際情景問題的關鍵是“轉化”，即將實際情景問題“數學化”，根據已有的數學知識、經驗去建立相應的數學模型（即數學建模），進而解決問題。所謂數學建模就是把所要研究的實際問題，通過數學抽象構造出相應的數學模型，再通過數學模型的研究，使原問題獲得解決的過程。其基本思路是：

數學建模需要較多探索和創造性，初中數學常見的建模方法有：涉及圖形的位置性質，建立幾何模型；涉及對現實生活中物體的測量，建立解直角三角形模型；涉及現實生活中普遍存在的等量關系（不等量關系），建立方程（不等式）模型；涉及現實生活中的變量關系，建立函數模型等。下面舉例說明。

一、建立幾何模型

例1：某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現有一艘寬3m，船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經過這里，此貨船能順利通過嗎？

解：如圖，由題意可知：AB=7.2m，CP=2.4m，EF=3m，NF=2m。

設圓的半徑為r，

在Rt△OPB中，OP2+BP2=OB2

(r-2.4)2+3.62=r2r=3.9

分析說明：本題取材于現實生活中船過圓弧形拱橋的問題，以圓為主體而設計探索題。解決此題關鍵要找圓心，求出半徑。此題橋呈圓弧形，要判斷船是否能順利通過，只要判斷一最遠點是否在圓內。

二、建立解直角三角形模型

例2：6月以來，我省普降大雨，時有山體滑坡災害發生。北峰小學教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示：AF∥BC，斜坡AB長30米，坡角∠ABC＝65°。為了防止滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經過地質人員勘測，當坡角不超過45°時，可以確保山體不滑坡。

（1）求坡頂與地面的距離等于多少米？（精確到0.1米）

（2）為確保安全，學校計劃改造時保持坡腳不動，坡頂削進到E點處，求至少是多少米？（精確到0.1米）

∴DB=AB·cos∠ABD=30×cos65°≈12.7m

連結BE、過E作EN⊥BC于N

∵AE∥BC∴四邊形AEND為矩形

NE＝AD≈27.2m

在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°

當EBN＝45°時BN＝EN＝27.2m

∴AE＝ND＝BN－BD＝27.2－12.7＝14.5m

答：AE至少是14.5m。

分析說明：本題取材于學生身邊常見的自然現象，以銳角三角函數、解直角三角形知識為主體而設計探索題。解決此題關鍵是要找出直角三角形以及對應的已知量。

三、建立方程（不等式）模型

例4：某商場銷售一批進價為2500元的電冰箱，經調查發現，當銷售價定為3500元時，平均每天售出8臺，電冰箱銷售單價每降低100元，平均每天就多銷售2臺，那么為了使每天的利潤增加12.5%，并讓顧客得更多的實惠，則每臺的優惠價應定為多少元？

整理得：x2-6400x+10200000=0解得x1=3000，x2=3400

∵要讓顧客得更多實惠∴x=3400（舍）

答：優惠價應定為3000元。

分析說明：本題涉及銷售利潤的實際問題，此類實際問題中往往蘊含著方程或不等式，分析問題中的等量關系和不等關系，建立方程（組）模型和不等式（組）模型，從而把實際問題轉化為數學模型，然后用數學知識來解決。解決此題關鍵是要找準等量關系：每件利潤×銷售量＝總利潤。

四、建立函數模型

例5：有一塊如圖所示，邊緣呈拋物線形的鐵皮，已知AB＝4，CD＝8，如何在鐵皮中剪出一塊周長最大的矩形？

解：以C為原點建立如圖所示的平面直角坐標系。

設該鐵皮邊緣拋物線的解析式為：y=ax2

∵經過點B（2，-8）

22a=-8 a=-2

∴拋物線的解析式為：y=-2x2

設DG＝m，則FG＝2m，HG＝8-2m2

∴矩形周長C＝2（FG＋HG）＝

2（2m＋8-2m2）＝-4m2+4m+16

說明：解決此類問題時，要善于選擇函數表達方式，并建立二次函數模型求解，找準解題的突破口。

為適應和推進課改，教師在日常教育教學中，要盡量采取《數學課標》倡導“問題情景建立模型解釋、應用與拓展”的模式組織教學活動，有的放矢地引導學生進行適當的解決實際情景問題的訓練，讓學生親身經歷將實際情景問題抽象成數學問題，建立數學模型，然后解決問題，進而掌握常規的解題思路、方法與技巧，以優化學生的數學認知結構，體現數學的生活價值，從而提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，激發學生學好數學的興趣和愿望。

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