金融投資類線性規(guī)劃及其數(shù)學(xué)模型的MATLAB求解

摘要：線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法。本文討論了在企業(yè)的各項(xiàng)管理活動(dòng)如計(jì)劃、生產(chǎn)、運(yùn)輸、技術(shù)等方面各種限制條件的組合選擇出最為合理的一般計(jì)算方法。重在通過MATLAB程序設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)，建立線性規(guī)劃模型求得最佳結(jié)果。

關(guān)鍵詞：MATLAB 線性規(guī)劃 編程

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型。簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。涉及更多個(gè)變量的線性規(guī)劃問題不能用初等方法解決整數(shù)規(guī)劃是從1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成獨(dú)立分支的，30多年來發(fā)展出很多方法解決各種問題。從約束條件的構(gòu)成又可細(xì)分為線性，二次和非線性的整數(shù)規(guī)劃。

MATLAB自身并沒有提供整數(shù)線性規(guī)劃的函數(shù)，但可以使用荷蘭Eindhoven科技大學(xué)Michel Berkelaer等人開發(fā)的LP_Solve包中的MATLAB支持的mex文件。此程序可求解多達(dá)30000個(gè)變量，50000個(gè)約束條件的整數(shù)線性規(guī)劃問題，經(jīng)編譯后該函數(shù)的調(diào)用格式為

[x，how]=ipslv_mex(A，B，f，intlist，Xm，xm，ctype)

其中，B，B表示線性等式和不等式約束。和最優(yōu)化工具箱所提供的函數(shù)不同，這里不要求用多個(gè)矩陣分別表示等式和不等式，而可以使用這兩個(gè)矩陣表不等式、大于式和小于式。

如我們在對(duì)線性規(guī)劃

求解中可以看出，其目標(biāo)函數(shù)可以用其系數(shù)向量f=[-2，-1，-4，-3，-1]T來表示，另外，由于沒有等式約束，故可以定義Aep和Bep為空矩陣。由給出的數(shù)學(xué)問題還可以看出，x的下界可以定義為xm=[0，0，3.32，0.678，2.57]T，且對(duì)上界沒有限制，故可以將其寫成空矩陣

此分析可以給出如下的MATLAB命令來求解線性規(guī)劃問題，并立即得出結(jié)果為x=[19.785，0，3.32，11.385，2.57]T，fopt=-89.5750。

從運(yùn)算結(jié)果來看，由于key值為1，故求解是成功的。以上只用了5步就得出了線性規(guī)劃問題的解，可見LP_Solve數(shù)據(jù)包能較輕松地實(shí)現(xiàn)多變量線性規(guī)劃整數(shù)解的問題。

對(duì)于小規(guī)模問題，可以考采用窮舉算法。人為假定xM的各個(gè)元素均為20，當(dāng)然可以采用逐個(gè)求取函數(shù)值，得出和前面一致的結(jié)果。

如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問題。對(duì)于非線性整數(shù)規(guī)劃問題要比整數(shù)線性規(guī)劃問題更復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中往往還會(huì)遇到整數(shù)或混合規(guī)劃問題，基于該領(lǐng)域的常用算法是分支定界(branch and bound)算法。

通過下面實(shí)例歸納出線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式，最后通過MATLAB來實(shí)現(xiàn)其最優(yōu)解。

（投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)）

問題提出市場上有n種資產(chǎn)si（i=1，2，3…n）可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。這n種資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購買si的平均收益率為γi，風(fēng)險(xiǎn)損失率為Qi，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。

購買si時(shí)要付交易費(fèi)，(費(fèi)率pi)，當(dāng)購買額不超過給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購買ui計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)（r0=5%）。

已知n=4時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

首先，我們做如下符號(hào)規(guī)定：

si：第i種投資項(xiàng)目（如股票，債券）

ri，pi，qi:分別為si的平均收益率，風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率

ui:si的交易定額r0:同期銀行利率

xi:投資項(xiàng)目si的資金a:投資風(fēng)險(xiǎn)度

Q:總體收益 △Q:總體收益的增量

要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型。對(duì)此我們首先建立一個(gè)初步模型。在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/M≤a可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃。

因此我們固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益，對(duì)模型做出簡化并對(duì)其進(jìn)行簡化：

我們從a=0開始，以步長△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：

a=0;

while(1.1-a)>1

c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];

Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1];

A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026];

b=[a;a;a;a];

vlb=[0，0，0，0，0];vub=[];

[x，val]=linprog(c，A，b，Aeq，beq，vlb，vub);

a

x=x'

Q=-val

plot(a，Q，'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on

a=a+0.001;

end

xlabel('a')，ylabel('Q')

計(jì)算結(jié)果如下：

a=0.0030 x=0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q=0.1266

a=0.0060 x=0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q=0.2019

a=0.0080 x=0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q=0.2112

a=0.0100 x=0 0.4000 0.58430 0Q=0.2190

a=0.0200 x=0 0.8000 0.18820 0Q=0.2518

a=0.0400 x=0.0000 0.9901 0.0000 0 0Q=0.2673

分析結(jié)果可見：

在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤增長很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤增長很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是a*=0.6%，q*=20%，

所對(duì)應(yīng)投資方案為:

對(duì)于多變量線性規(guī)劃問題的求解，常規(guī)解法需要設(shè)置大量的參數(shù)，計(jì)算過程繁瑣、可操作性差、計(jì)算精度不高，而經(jīng)由MATLAB設(shè)計(jì)的算法可有效地解決這一問題，大大提高了運(yùn)算效率與精度，在工程、管理、經(jīng)濟(jì)、科研、軍事等方面都有廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

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