數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

摘要：近年來(lái)將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程教學(xué)是一個(gè)重要的研究課題，這方面的研究成果也日益豐富。本文以微積分課程為例，分析了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的重要作用，并提出了微積分教學(xué)改革的若干策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化 數(shù)學(xué)建模 微積分教學(xué) 重要作用

近年來(lái)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用越來(lái)越受到高等院校的重視，投入相當(dāng)大的人力和財(cái)力進(jìn)行專題研究并取得了豐碩的成果。其中將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)主干課程教學(xué)是一個(gè)重要的研究課題。本文所指的高等數(shù)學(xué)是廣義上的說(shuō)法，下面以微積分課程為例來(lái)說(shuō)明研究課題產(chǎn)生的背景、作用和實(shí)施策略。

一、教學(xué)現(xiàn)狀

現(xiàn)在高校普遍的微積分教學(xué)，“滿堂灌”的現(xiàn)象仍舊相當(dāng)突出，不講究教學(xué)方法，教師上課沒(méi)有激情，照本宣科，講解枯燥無(wú)味。采用的教學(xué)手段依然是粉筆加黑板、課本加教案的傳統(tǒng)模式，沒(méi)有充分利用現(xiàn)代化的多媒體教學(xué)手段。種種原因都有可能導(dǎo)致學(xué)生對(duì)微積分這門(mén)課程產(chǎn)生畏難情緒，失去學(xué)習(xí)這門(mén)課程的興趣。因此微積分教學(xué)的改革已經(jīng)勢(shì)在必行，刻不容緩；高教界對(duì)此也作了種種有益的探索和嘗試，其中將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模思想融入微積分教學(xué)是個(gè)行之有效的方法。

二、重要作用

國(guó)家級(jí)教學(xué)名師顧沛對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的定義有狹義和廣義兩種。狹義的定義是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的定義是除這些以外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系。著名數(shù)學(xué)家吳文俊說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)要真正得到應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模是取得成功最重要的途徑之一”。研究和探討數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模在當(dāng)前微積分教學(xué)中的應(yīng)用，以及將二者緊密結(jié)合起來(lái)發(fā)揮更大的作用等問(wèn)題，將會(huì)在提高學(xué)生的思想修養(yǎng)和提高學(xué)生對(duì)微積分學(xué)習(xí)的興趣等方面起到重要作用。

三、實(shí)施策略

1．適當(dāng)插入微積分發(fā)展史，引發(fā)課程興趣

數(shù)學(xué)史是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力的良性催化劑，特別是數(shù)學(xué)大師成功的背景與經(jīng)歷，不但能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的無(wú)窮動(dòng)力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生勤奮刻苦的精神和堅(jiān)韌不拔的意志。因此，我們可以在第一節(jié)課用下面的內(nèi)容這樣介紹微積分的發(fā)展史，以引起對(duì)本課程的興趣。

眾所周知，微積分誕生于17世紀(jì)下半葉，微積分基本定理的建立標(biāo)志著微積分的誕生，而這是牛頓與萊布尼茲的功勛，是他們創(chuàng)立了微積分。牛頓對(duì)微積分的研究始于1664年，于1665年5月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法），1666年5月發(fā)明“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月將此整理成文名為《流數(shù)簡(jiǎn)論》，此文雖未發(fā)表，卻是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。與牛頓的流數(shù)論以動(dòng)力學(xué)為背景不同，萊布尼茲創(chuàng)立微積分是從幾何問(wèn)題的思考出發(fā)。1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)文章《一種求極大與極小值和求切線的新方法》；1686年，他發(fā)表了他第一篇積分學(xué)文章《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》。萊布尼茲引入的符號(hào)“dx”、“∫”等一直沿用至今；他給出了函數(shù)的加、減、乘、除、乘方及開(kāi)根，以及復(fù)合函數(shù)的微分公式；著名的萊布尼茲公式是函數(shù)乘積的微分公式，在積分學(xué)的文章中明確論述了積分與微分互為逆運(yùn)算。但是牛頓與萊布尼茲的微積分的基礎(chǔ)是不牢固的，是不嚴(yán)格的。經(jīng)過(guò)上百年努力，微積分嚴(yán)格化到19世紀(jì)初見(jiàn)效果。而開(kāi)始有重大影響的微積分嚴(yán)格化的第一位數(shù)學(xué)家是法國(guó)的柯西，他對(duì)微積分巨大的貢獻(xiàn)是引進(jìn)了嚴(yán)格的方法；柯西正確地表述并嚴(yán)格地證明了微積分基本定理、中值定理等微積分中一系列重要定理。他的工作是微積分走向嚴(yán)格化的極為關(guān)鍵的一步，為微積分的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2．巧妙植入數(shù)學(xué)文化，激起學(xué)習(xí)興趣

開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)文化”欣賞課在很多重點(diǎn)高校已成為一種趨勢(shì)，目的是在學(xué)生有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)后，能換個(gè)角度去觀察數(shù)學(xué)，以一種欣賞的眼光去看待數(shù)學(xué)。教師在教學(xué)過(guò)程中也要意識(shí)地滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美感與魅力，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

（1）數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身是最簡(jiǎn)潔的文字，而且能反映極其深刻的內(nèi)在規(guī)律。如對(duì)于一元可微函數(shù)y=f(u)，不管u是自變量還是中間變量，函數(shù)u=f(u)的微分dy=f′(u)du在形式上都是不變的。這個(gè)簡(jiǎn)單又明了的式子，既反映了數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式的簡(jiǎn)潔美，又反映了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔與優(yōu)美的同時(shí)，也必能加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

（2）中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁。中值定理包含三個(gè)定理：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理。柯西定理是拉格朗日定理的一般情形，而拉格朗日定理又是羅爾定理的一般情形。它們之間的關(guān)系體現(xiàn)了哲學(xué)范疇的特殊與一般的辨證統(tǒng)一的關(guān)系，是一個(gè)由此及彼、由淺入深、由特殊到一般相互轉(zhuǎn)化、逐步發(fā)展、完善的過(guò)程，從而使中值定理有著更廣泛的應(yīng)用。這樣在數(shù)學(xué)的邏輯美中，學(xué)生可以體會(huì)到哲學(xué)美的無(wú)限魅力。

（3）1是正整數(shù)也是實(shí)數(shù)的基本單位，i是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)，e和π在超越數(shù)中獨(dú)具特色，它們都具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)地位；這五個(gè)特殊的數(shù)卻可以和諧地存在于一個(gè)等式之中：eiπ+1=0，數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧美真是讓人嘆為觀止。

3．適時(shí)融入數(shù)學(xué)建模思想，增強(qiáng)實(shí)用訓(xùn)練

隨著人類的進(jìn)步，微積分也在不斷地發(fā)展，時(shí)至今日，已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)龐大的理論體系，其應(yīng)用范圍滲透到社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。如運(yùn)用微積分中的導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的用料最省、體積最大以及經(jīng)濟(jì)理論中的最大利潤(rùn)、最小成本、邊際、彈性分析等問(wèn)題。定積分中的微元法也是應(yīng)用中的有效方法，可以用來(lái)計(jì)算面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、圖形的重心等。在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)融入數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)各專業(yè)特別是經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的學(xué)生更有助于專業(yè)課的學(xué)習(xí)、抽象思維的提高，使得學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)變得容易，而且可以更完整、更深刻地理解和解釋經(jīng)濟(jì)和管理理論。我們通過(guò)下面的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微積分在優(yōu)化理論及經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用。

（1）（案例）價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型

（問(wèn)題描述）銷(xiāo)售競(jìng)爭(zhēng)在于占有市場(chǎng)，而市場(chǎng)的占有量受諸多因素的制約和影響，如廣告、價(jià)格、市場(chǎng)策略等。兩個(gè)液化氣站坐落同一居民住宅區(qū)，彼此激烈競(jìng)爭(zhēng)，附近的一些液化氣站也對(duì)他們構(gòu)成一定的壓力。市場(chǎng)是極大的，盡管兩個(gè)液化氣站都有自己的老顧客，但銷(xiāo)售的大部分還是由偶然到來(lái)的顧客所決定，利潤(rùn)受銷(xiāo)售量的影響和控制。一天，甲液化氣站突然張貼“降價(jià)銷(xiāo)售”的廣告吸引更多的顧客，以圖形成更大的市場(chǎng)，獲取更多的利潤(rùn)。結(jié)果造成乙液化氣站的顧客被拉走了很多，盈利急劇減少，乙液化氣站為了挽回?fù)p失而采取對(duì)策，決定馬上降價(jià)，但需要確定一個(gè)合適的價(jià)格，既可以同甲液化氣站競(jìng)爭(zhēng)，又可以獲取盡可能高的利潤(rùn)。

（2）（問(wèn)題分析）我們需要建立一個(gè)描述“價(jià)格戰(zhàn)”的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型，并站在乙液化氣站的立場(chǎng)為其制定對(duì)策。

下面引入一些變量指標(biāo)：

x——乙液化氣站的銷(xiāo)售價(jià)格（元/瓶）；

y——甲液化氣站的銷(xiāo)售價(jià)格（元/瓶）；

W——液化氣的成本價(jià)格（元/瓶）；

L——乙液化氣站在價(jià)格戰(zhàn)之前的銷(xiāo)售量（瓶/年）；

P——液化氣的正常銷(xiāo)售價(jià)格（元/瓶）。

其中，P由其他液化氣站的一般銷(xiāo)售價(jià)格確定，不妨定為常數(shù)。

現(xiàn)在我們已將價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即推測(cè)的分析各個(gè)變量之間的關(guān)系和相互影響

（建立模型）可以認(rèn)為乙液化氣站的銷(xiāo)售量受以下各因素影響：兩液化氣站之間的銷(xiāo)售價(jià)格之差；乙液化氣站的銷(xiāo)售價(jià)格與正常價(jià)格之部的差值；甲液化氣站的銷(xiāo)售價(jià)格與正常價(jià)格之間的差值。

四、結(jié)語(yǔ)

一位合格的數(shù)學(xué)教師在課堂上應(yīng)有意識(shí)將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)建模思想巧妙融入教學(xué)之中，使學(xué)生不但能掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且可以領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的魅力和數(shù)學(xué)思想的深邃，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和對(duì)社會(huì)發(fā)展的巨大推動(dòng)作用，精心打造充滿數(shù)學(xué)魅力的高效課堂，盡最大努力提高課堂的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李大潛．中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽[M]．北京：高等教育出版社，2008．

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本文為鄭州大學(xué)西亞斯國(guó)際學(xué)院2010年度科研經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：2010JGYB53。