時(shí)滯不確定Lurie系統(tǒng)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性準(zhǔn)則

摘要：研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯的范數(shù)有界結(jié)構(gòu)不確定性Lurie控制系統(tǒng)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法， 分別給出了系統(tǒng)在無(wú)限扇形及有限扇形角內(nèi)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)充分條件，所給的判定條件是線性矩陣不等式(LMI)形式的，可以很方便地運(yùn)用Matlab工具箱求解。兩個(gè)數(shù)值實(shí)例表明，本文所給條件是有效及可行的。

關(guān)鍵詞：Lurie控制系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)滯；不確定參數(shù)；絕對(duì)穩(wěn)定；線性矩陣不等式(LMI)

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Criteria of Robust Absolute Stability for Time-Delay

Uncertain Lurie Systems

WANG Yanqing，WANG Zaihua

（Institute of Sciences，PLA univ.of Sci.Tech， Nanjing，211101，China）

Abstract: The problem of robust absolute stability for time-varying delay Lurie systems with structured uncertainty is investigated. Using Lyapunov-Krasovskii function method， two delay-dependent criterions forabsolute stability of systems in infinite sector and finite sector is respectively given. The proposed condition is in terms of a linear matrix inequality(LMI) which can be easily solved by Matlab toolbox.Two illustrative example shows that the condition obtained in this paper is effective and feasible.

Key words: lurie control systems; time-varying delay; uncertain parameter; absolute stability; linear Matrix Inequality(LMI)

0 引言

Lurie型控制系統(tǒng)是一類非常重要的非線性系統(tǒng)，許多實(shí)際系統(tǒng)都可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)urie型控制系統(tǒng).近年來(lái)，此類控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性研究也得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視，獲得了許多有價(jià)值的研究成果.其中，文[[2]考慮了一類具有結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的范數(shù)有界的Lurie控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件，但沒(méi)有考慮時(shí)滯問(wèn)題.文[3]給出具有多個(gè)時(shí)滯的Lurie直接控制系統(tǒng)和Lurie間接控制系統(tǒng)的時(shí)滯無(wú)關(guān)絕對(duì)穩(wěn)定性條件.文[4]雖然結(jié)論是時(shí)滯相關(guān)的， 但要求時(shí)滯為非負(fù)有界函數(shù)， 而且得到的時(shí)滯界很小，在實(shí)際控制中很難應(yīng)用，并且文中考慮的示例的系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性是時(shí)滯無(wú)關(guān)的。文獻(xiàn)[5]通過(guò)構(gòu)造特殊的Lyapunov函數(shù)，利用不等式得到時(shí)滯相關(guān)的絕對(duì)穩(wěn)定性條件，較大地推廣了文獻(xiàn)[4]中示例的結(jié)論.

本文利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，并結(jié)合線性矩陣不等式(LMI)的相關(guān)推導(dǎo)技巧， 對(duì)一類具有范數(shù)有界時(shí)變時(shí)滯不確定性的Lurie型控制系統(tǒng)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行討論， 給出其魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性的判別充分條件，實(shí)際上是對(duì)文獻(xiàn)[2]的直接推廣，并且所得結(jié)果以LMI的形式給出，并給出算例驗(yàn)證所得判別條件的有效性.

對(duì)于一般的Lurie控制系統(tǒng)

或 或

其中

該系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性定義如下:

定義1若對(duì)任意 或 或 ，Lurie控制系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的，則稱此系統(tǒng)是絕對(duì)穩(wěn)定的.

為了后文討論的方便，引入如下引理：

引理1[1].對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣 ，對(duì)所有滿足 的矩陣 ，矩陣不等式

的必要充分條件是對(duì)任意的常數(shù) ，都有下述矩陣不等式成立

．

引理2（Schur補(bǔ)引理）對(duì)給定的對(duì)稱矩陣 ，其中 是 維的， 以下三個(gè)條件是等價(jià)的: （a）

（b） ，

（c） ，

1 魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性分析

考慮如下具有不確定參數(shù)的時(shí)滯Lurie系統(tǒng)

(1)

式中 為狀態(tài)變量，為有界時(shí)滯且滿足 ， 為相應(yīng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣， 為時(shí)變不確定矩陣，且具有如下形式

(2)

其中 為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，并且對(duì)任意的 ， 都滿足

(3)

定理1：如果存在適當(dāng)?shù)恼龜?shù) ， 及適當(dāng)?shù)膶?duì)稱正定矩陣 和適當(dāng)維數(shù)的矩陣 使如下線性矩陣不等式(4)成立，則不確定時(shí)滯Lurie系統(tǒng)(1)是魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性的.

證明: 選取Lyapunov函數(shù)

其中 為對(duì)稱正定矩陣， 為兩正實(shí)數(shù)，

則Lyapunov函數(shù)沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)為

(4)

其中

則的充分條件是 ，而

+

其中

由引理1，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) ，使得

即+

再由引理2，上述不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

即 LMI(4)成立.

推論1: 若所討論的系統(tǒng)(1)中不含有不確定性矩陣，即 ，則定理1中的LMI(4)成為

(5)

此LMI存在解 是相應(yīng)的Lurie控制系統(tǒng)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件.

定理2：假設(shè)系統(tǒng)(1)中矩陣 是穩(wěn)定的，且 .若存在正定對(duì)稱矩陣 及正數(shù) 滿足以下LMI

(6)

則不確定Lurie控制系統(tǒng)(1)是魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的.

證明: 在定理1的證明中，在 中加、減項(xiàng)

可類似地推得不等式(6).

2 算例驗(yàn)證

設(shè)在系統(tǒng)(1)中，系統(tǒng)矩陣為

解LMI(5)得:

故此時(shí)系統(tǒng)(1)是絕對(duì)穩(wěn)定的.

又若在系統(tǒng)(1)中，設(shè) 且

由LMI(4)解得:

故此時(shí)不確定系統(tǒng)(1)是魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的.

由此算例可知文中給出的判別方法是有效的，且利用Matlab易于求解.

3 結(jié)論

構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii泛函，利用線性矩陣不等式得到了一類具有結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的不確定時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件，且所得充分條件以LMI的形式給出，并用適當(dāng)?shù)乃憷右则?yàn)證，說(shuō)明本文的結(jié)果是有效的，且是易于驗(yàn)證的，因?yàn)榭梢岳肕atlab工具箱來(lái)求解，避免了許多繁瑣的計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

[1]Wu. M， He Y， She J H. New delay-dependent stability criteria and stabilizing method for neutral systems. IEEE Trans. Automat Contr[J]， 2004， 49(12): 2266-2271.

[2]秦克林，楊金桀，陳東顏. 一類不確定性Lurie控制系統(tǒng)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定判據(jù). 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)[J]，2009，25(3):1-4.

[3]王天成.時(shí)變時(shí)滯控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性.控制工程[J]，2006，13(3):215-217.

[4]Yang B，Chen M Y. Delay-dependent criterion for absolute stability of Lurie type control systems with time delay.Control Theory and Application[J]，2001，18(6):929-931.

[5]Chen W H，Guan Z H，Lu X M，et al. Delay-dependent absolute stability of untertain Lurie systems with time-delay. Acta Automatica Sinica[J]，2004，30(2):235-238.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文