時滯不確定隨機系統的魯棒穩定性*

高存臣,崔紅艷

(中國海洋大學數學科學學院,山東青島266100)

時滯不確定隨機系統的魯棒穩定性*

高存臣,崔紅艷

(中國海洋大學數學科學學院,山東青島266100)

主要研究了帶有時滯的不確定隨機系統的均方魯棒指數穩定性問題。根據有關線性矩陣不等式理論,結合李亞普諾夫函數法,充分利用系統的擴散項,建立了1個新的時滯相關穩定判據,使文中的時滯不確定隨機系統是魯棒均方指數穩定的。給出了具體的數值例子說明了研究結果的可行性和有效性。

隨機系統;時滯;線性矩陣不等式;時滯相關指數穩定性

隨著現代科學技術的發展,隨機系統常帶有不確定性和時間滯后。關于確定性系統的研究已經得到了全方面的關注,并得到了一些好的結果。近幾年對于帶有不確定項和時間滯后的系統也受到較大關注。

在過去幾年里伴隨著隨機模型系統在科學和工程領域的重大作用,隨機系統受到越來越多的關注[1-3]。特別是隨機時滯系統,更加強調隨機時滯系統模型的穩定性分析[4-6],這些研究又可根據時滯的類型分為2類——時滯獨立系統[7-9]和時滯相關系統[4-5,10]。一般來說,對于帶有較小時滯隨機系統時滯獨立的結果要比時滯相關保守一些。最近,對于隨機時滯系統的時滯相關穩定性問題的研究得到越來越多的關注[4-5,10-12]。

本文主要探討不確定隨機時滯系統的時滯相關穩定性,通過線性矩陣不等式的方法得到了一個關于不確定隨機時滯系統的時滯相關指數穩定性的判劇。這個判據不僅能夠更好的構建系統的擴散項,而且具有較小的保守性。最后給出了具體的實例來說明結果的可行性和有效性。

1 預備知識

在介紹內容之前,首先做如下的說明:

(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是1個帶有自然濾子的完全概率空間;E[·]代表具有合適測度的期望算子;w(t)是定義在完全概率空間上的標準的布朗運動;如果A是一個向量或矩陣,那么AT表示它的轉置;若果P是一個方陣,那么P>0(P<0)表示P是帶有合適維數的對稱正定(負定)矩陣;P>0(P<0)表示對稱半正定(半負定)矩陣;I代表單位矩陣;用λM(·),λm(·)分別表示矩陣的最大特征值和最小特征值;|·|表示向量的歐式范數或矩陣的誘導范數;當h>0時,C([-h,0];Rn)表示定義在[-h,0]上的n維實函數φ的集合,其范數定義為0];Rn)表示F0可測且Rn)-值隨機變量的集合。

考慮如下的系統

對任意的t≥0成立。

通過(2)式可以得到

其中LA,EAi,LH,EHi是勒貝格可測的未知常數矩陣且滿足

如果滿足(4),(5)那么存在參數不確定元素ΔAi(t),ΔHi(t),i=0,1。

定義1[8]不確定隨機系統(1)是均方指數穩定的,如果存在常數λ,使得

對所有的不確定項(4)和(5)都成立。

引理1[9]令u∈Rq,v∈Rl,M∈Rq×l,對任意的常數矩陣X∈Rq×q,Y∈Rq×l,Z∈Rl×l,若成立,則下面不等式成立

引理2[10]存在任意對稱正定矩陣G∈Rl×l和正數r,如果存在一個向量函數v∶[0 r]→Rl,使得積分都存在,那么下面的不等式成立

引理3[10]對任意的常數矩陣M∈Rq×l,不等式

對所有的對稱正定矩陣G∈Rl×l和正數r成立。

引理4[4](Schur comp lement)對給定的常數矩陣Ω1,Ω2和Ω3滿足和只要

則

2 時滯相關指數穩定性

定理1 若存在矩陣P11>0,R<0,S>0,Q≥0,W≥0,

則不確定隨機系統(1)是魯棒均方指數穩定的。這里

矩陣的對稱部分。

證明 根據公式(1),可以得到

當t≥0時,對任意的t2≥t1≥0,有

通過(2)式和(9)式,對任意的t≥h可以得到

選擇系統(9)的李亞普諾夫函數為

這里

對任意的t≥h,通過It^o公式,可以得到

其中

令

通過等式(10)和(11),可以得到

由引理1和等式(9)～(11),有

把(16)式代入(15)可以得到

這里

和

令

通過引理3,得

且

由(18)式和(19)式可得

結合不等式(15)～(20)可得

這里Γ為對稱矩陣

其中

直接由引理2可得

其中

對所有的t≥h都成立。

把(21)～(23)式代入(14)式可得

由等距同構可得

因此,在(24)式兩邊同時取期望可得

其中

由舒爾補引理,不等式(7)可得?Γ<0所以有

其中

由(12)式可得

令t0=h,對任意t≥t0再應用引理2,可得

通過線性增長條件(3),存在正常數C1和C2使得對所有的t≥t0下式成立

所以可得

于是系統(1)是均方指數穩定的。

3 數值例子

考慮下面的隨機時滯系統

由定理1可得hmax=0.197 8,若又則λ1=1.261 5

4 小結

本文主要是通過線性矩陣不等式的方法討論了不確定隨機時滯系統指數穩定性的時滯相關判據。這里需要特別指出的是公式(10)和(11)以及4個引理對利用系統的擴散項和處理交叉項起了重要的作用,這樣得到的結果保守性要小。在李亞普諾夫穩定性理論和線性矩陣不等式的基礎上得到了一個新的指數相關穩定性判據。

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Robust Stability of Uncertain Stochastic System s with Time-Delays

GAO Cun-Chen,CUIHong-Yan
(School of Mathematical Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

This paper studiesmean square robust exponentially stability of uncertain stochastic system s.With the help of linearmatrix inequality theory and Lyapunov function,and taking full advantage of diffusion in the system s,an algebraic criterion of delay-dependent stability is established for uncertain stochastic time system s.Themain results are illustrated by a numerical example.

stochastic system s;time delays;linear matrix inequality;delay-dependent exponentially stable

O231.3

A

1672-5174(2011)7/8-202-05

國家自然科學基金項目(60974025);山東省自然科學重點基金項目(Z2006G11)資助

2010-07-13;

2011-05-11

高存臣(1956-),男,教授,博導。E-mail:ccgao@ouc.edu.cn

AMS Subject Classification:93E15

責任編輯 朱寶象