區(qū)間估計(jì)中一個(gè)問(wèn)題的探討

胡楊利，趙曉芹

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

區(qū)間估計(jì)中一個(gè)問(wèn)題的探討

胡楊利，趙曉芹

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

討論了正態(tài)總體的均值已知時(shí)方差的區(qū)間估計(jì).兩種方法找到了不同的置信區(qū)間，通過(guò)舉例和分析χ2分布表，對(duì)這兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行了甄別.

置信區(qū)間；正態(tài)總體；方差；χ2分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高校經(jīng)濟(jì)管理類和工科類專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課［1］。這一學(xué)科的理論和方法幾乎滲透了所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。作為一名高校學(xué)生，學(xué)好這門課程，是非常必要的，這對(duì)提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)和日后的深造都大有裨益。

在區(qū)間估計(jì)這一章節(jié)，幾乎所有的教材都介紹了單個(gè)正態(tài)總體中參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。對(duì)于均值的估計(jì)，分別討論了方差已知和未知兩種情形；但在介紹方差的區(qū)間估計(jì)時(shí)，幾乎都只介紹了均值未知的情形，而對(duì)均值已知的情形沒(méi)有任何說(shuō)明［2－3］。學(xué)生很疑惑，也想知道問(wèn)題的答案！為了解答學(xué)生的疑惑，也為了這部分內(nèi)容的完整性，下面探討正態(tài)總體的均值已知時(shí)方差的區(qū)間估計(jì)。

問(wèn)題 設(shè)總體X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，（X1，X2，…，Xn）為總體的一組樣本，給定置信水平1－α，若μ已知，求σ2的置信區(qū)間。

解2 對(duì)于樣本隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，由于Xi～N（μ，σ2），i＝1，2，…，n，顯然是σ2的無(wú)偏估計(jì)。又μ已知，所以可由此找σ2的置信區(qū)間。顯然（Xi－μ）／σ～N（0，1），i＝1，2，…，n，那么故對(duì)于給定的置信水平1－α，σ2的置信區(qū)間為

對(duì)于σ2的這兩個(gè)置信區(qū)間，我們?cè)撊绾芜x擇了下面我們來(lái)看一個(gè)很常見(jiàn)的例子。

例1 某工廠用包裝機(jī)包裝奶粉，設(shè)包裝機(jī)稱得的奶粉重量（單位：克）X服從正態(tài)分布N（500，σ2）。隨機(jī)抽取包裝的奶粉9袋，稱得凈重為499，488，502，503，498，508，504，497，492。給定置信水平95%和90%，分別求σ2的置信區(qū)間。

解 計(jì)算得xˉ＝499，

i）置信水平為95%時(shí)，查χ2分布表得

所以置信區(qū)間 （1），（2）分別為 （1.79，9 000），（16.56，116.67）。

ii）置信水平為90%時(shí)，查χ2分布表得

所以置信區(qū)間（1），（2）分 別為（2.34，2250），（18.62，94.74）。

顯然，在這兩種置信水平下，置信區(qū)間（2）都要優(yōu)于置信區(qū)間（1）。是否在任何情況下都有這樣的結(jié)論呢？

觀察χ2分布表易知：給定α，隨著n的增大，（n）增大；但對(duì)于一般取法的α，（1）很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于（2），比如所以，在置信區(qū)間（1）中，置信上限往往很大，使得置信區(qū)間（1）起不到估計(jì)的作用［4］。因此，當(dāng)μ已知時(shí)，σ2的置信區(qū)間取區(qū)間（2）。

［1］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，1983：326－334.

［2］韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007：149－152.

［3］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，2004：321－322.

［4］劉次華，萬(wàn)建平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.2版，北京：高等教育出社，2003：184－185.

A Problem about Interval Estimation

HU Yang－li，ZHAO Xiao－qin
（Institute of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China）

When the mean of a normal population is given，the confidence interval of this normal population is discussed.Two confidence intervals are found by different methods.From an example and the tabular of chi－square distribution，these two confidence intervals are discriminated.

confidence interval；normal population；variance；chi－square distribution

G633.6

A

1673－0313（2011）06－0146－02

2011－09－24

長(zhǎng)沙理工大學(xué)校教改資助項(xiàng)目（JG1044）

胡楊利（1976－），女，湖北松滋人，副教授，碩士研究生，主要研究隨機(jī)環(huán)境中分枝過(guò)程.