纖維正則映射的無點刻畫

周曉陽，馮麗

（1.大連民族學院理學院，遼寧大連 116605;2.大連電子學校，遼寧大連 116023）

纖維正則映射的無點刻畫

周曉陽1，馮麗2

（1.大連民族學院理學院，遼寧大連 116605;2.大連電子學校，遼寧大連 116023）

纖維拓撲在近代拓撲理論中是發展較為迅速的一個分支，近些年來，許多數學家對此門學科給予了極大的關注和興趣。與此同時，在計算機理論中，關于DCPO（有向完全偏序）的理論研究也一度成為該研究領域的一個熱點，而Frame理論為其提供了有意義的推理和語匯。給出了纖維拓撲性質中的纖維正則映射的等價刻畫，并利用Frame理論給出了纖維正則映射的無點刻畫，從而使得Frame理論中關于纖維觀點的運用更為方便、快捷。

Frame;纖維正則映射;拓撲

纖維拓撲的歷史可追溯到一個多世紀之前Riemann的思想。纖維映射空間，作為纖維拓撲乘積的不交并，也出現在范疇拓撲的工作中。1989年，I.M.James出版了一本系統論述纖維拓撲的著作［1］，此著作通過研究纖維的拓撲結構與基空間的拓撲結構的內在聯系，較系統地給出一般拓撲學中許多重要概念和命題在纖維拓撲理論中的刻畫，促進了纖維觀點在拓撲學中的發展，使纖維拓撲獨立地成為一門學科。

近些年來，在計算機理論科學中關于DCPO的理論研究也一度成為熱點，而Frame理論既是其中的一部分，也為其提供了有意義的推理和語匯。盡管關于Frame理論的文獻很多，其研究也相當深入，但Frame理論的語匯卻沒有在纖維拓撲理論中運用。例如:如何用無點拓撲理論，即用Frame理論語言來刻畫纖維拓撲中的主要概念。

本文將根據日本的Takuo Miwa［2］文章中的語言形式和I.M.James對纖維正則映射的定義將它們進行“保守推廣”。

1 預備知識

由于在各種相關文獻中，有些概念和符號的用法不完全一致，所以本節對文中使用的概念和表示符號予以必要的解釋和說明。

設L是一完備格，滿足第一無窮分配律，若只考慮L中的有限交以及任意并運算，稱L是一個Frame或Locale。在兩個Frame之間的映射f?A ×B，若該映射保有限交與任意并，稱f為A到B的一個Frame態射或B到A的一個Locale態射。換句話說，若以Frame為對象，以Frame態射為態射的范疇稱為Frame范疇，則其對偶范疇是Locale范疇。

對任意一個集合Y，Y上的纖維集X指的是（X，f），f是X到Y的映射，任意y∈Y，稱f－1（y）為y上的纖維，它是X的子集，記Xy=f－1（y）。由于沒有要求f是滿的，因此y上的纖維可以是空集。對任意Y的子集Y'，稱f－1［Y'］為Y'上的纖維集，記XY'=f－1［Y'］。當映射f:X→Y是連續映射時，稱X是Y上的纖維拓撲空間，f是纖維映射，顯然，Y的任意開集的逆像包含X中的某個開集。

對任意給定的拓撲空間Y，記FTY為纖維拓撲空間范疇，范疇FTY中的對象是到Y的連續映射，對范疇FTY中的任意兩個對象f:X→Y，g:Z→Y，從f到g的態射是連續映射λ:X→Z，且滿足f =g?λ，把這個態射記作λ:f→g。態射λ:f→g是滿的、閉的等等，即指λ:X→Z是滿的、閉的等等。

對任意給定的Frame A，記FFA為纖維Frame偶范疇，范疇FFA中的對象是定義域為A的Frame態射，對范疇FFA中的任意兩個對象f:A→B，g:A→C，從f到g的態射是Frame態射λ:B→C，且滿足g=λ?f，把這個態射記作λ:f→g。態射λ:f→g是滿的、閉的等等，即指λ:B→C是滿的、閉的等等。

若X是一拓撲空間，以Ω（X）表示其拓撲，易知按集合的交、并運算，Ω（X）構成一個Frame或Locale，我們稱其為空間X的開集Frame或開集Locale。若f:X→Y是一連續映射，Ω（f）:Ω（Y）→Ω（X）定義為

這里特別提到一個表示約定:當f?A×B是一個A到B的映射時，f（x）與f［x］的區別在于f （*）中只代入A中的元素，而f［*］中只能代入A的子集。

對于一個FrameA，通常ptA表示的集合可以有三種理解:

（1）A中的所有完全素濾子;

（2）A到2={0，1}的所有Frame態射;

（3）A中的所有素元。

在無特別說明時，我們采取（3）的用法，即ptA表示A中的所有素元。

下面的記法在本文中也是特別的:

記Ω（ptA）=φ［A］，Ω（ptA）實際上已經構成ptA上的一個拓撲，在無任何附加說明時，ptA永遠表示以Ω（ptA）為拓撲的拓撲空間。若φ是單射，稱A為空間式Frame。

記A，B是空間式Frame，g:A→B是Frame態射，

都是同構映射，記f=ptg:ptB→ptA是拓撲空間之間的連續映射，且滿足f－1=φ2gφ－11，稱映射f是由Frame態射g誘導的映射。

當拓撲空間X給定時，x∈X，Nx表示x的所有鄰域組成的集合。表示A在X中的閉包，IntA表示A的內部，在基本集明確的條件下，Ac總表示A的余集。

其他沒有特別提及的概念及相關結果，拓撲學參見文獻［3－4］，Frame理論參見文獻［5］，范疇論可參見文獻［6］。

2 纖維正則映射的無點刻畫

為了討論纖維正則映射的無點刻畫，首先，說明纖維正則映射的相關概念。

定義1.1［2］設f:X→Y是連續映射，X，Y是拓撲空間，如果對任意x∈X，任意閉集F?X，x?F，存在U∈Nf（x），使{x}∩f－1［U］與F∩f－1［U］在f－1［U］中有不交鄰域，則稱f:X→Y是纖維正則映射。

定義1.2［1］設f:X→Y是連續映射，X，Y是拓撲空間，對任意x∈f－1（y），y∈Y，任意N∈Nx，存在W∈Ny和［W］?N，則稱f:X→Y是纖維正則映射。

定義1.1和定義1.2分別出現在兩個不同的文獻中，雖然表達方式不同，但經過以下簡單的證明，得知它們是等價的。

證明已知定義1.1，對任意x∈f－1（y），y∈Y，任意N∈Nx，XN是閉集，且x?XN，則?W∈Ny，使{x}∩f－1［W］與XN∩f－1［W］在f－1［W］中有不交鄰域，即

推論1.1設A，B是空間式Frame，g:A→B是Frame態射，則g:A→B是纖維正則態射?由g誘導的映射f=ptg:ptB→ptA是纖維正則映射。

證明由定理1.1知:f:ptB→ptA是纖維正則映射，當且僅當，Ω（f）:Ω（ptA）→Ω（ptB）是纖維正則態射，而A，B是空間式Frame，則A與Ω（ptA）同構，B與Ω（ptB）同構，即A，B可分別看作pta，ptB上的拓撲，顯然，推論成立。

推論1.1證明了Frame范疇中纖維正則映射的保守推廣。

［1］JAMES Ioan Mackenzie.Fibrewise Topology［M］.Cambridge:University Press，1989.

［2］BUHAGIAR David，MIWA Takuo，Covering properties on maps［J］.Q＆A in General Topology，1998，16:53－66.

［3］ENGELKING Ryszard.General Topology［M］.Berlin: Heldermann Verlag，1989.

［4］兒玉之宏，永見啟應.拓撲空間論［M］.方嘉林，譯.北京:科學出版社，1984.

［5］鄭崇友，樊磊，崔宏.Frame與連續格［M］.北京:首都師范大學出版社，2000.

［6］MAC LANE Saunders.Categories for the Working Mathematician（Graduate Texts in Math）［M］.New York: Springer－Verlag，1998.

Pointless Description of Fibrewise Regular Maps

ZHOU Xiao－yang1，FENG Li2
（1.School of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;2.Dalian Electronic School，Dalian Liaoning 116023，China）

Fibrewise Topology is a branch of modern topology theory，which develops very quickly。Recently，many mathematicians have taken tremendous interest in this subject。Meanwhile，the theory about DCPO（Directed Complete Partial Order）in Theoretical Computer Science has been also a hot spot，and the theory of Frames supplies a lot of important reasoning.The equivalent characterization of fibrewise regular map in fibrewise topology has been presented，and by the theory of Frames，the pointless description of fibrewise regular maps has been also developed.Therefore，it will be convenient and fast to apply the fibrewise viewpoint in the theory of Frames.

frame;fibrewise regular maps;topology

O189.1

A

1009－315X（2011）03－0277－03

2011－03－24;最后

2011－04－01

周曉陽（1981－），女，遼寧大連人，講師，博士，主要從事空間理論、算子理論和拓撲理論研究。

（責任編輯 鄒永紅）