終端滑模控制器設計在永磁同步電動機中的應用

馬 新，平靜水

(淮南師范學院 數學與計算科學系，安徽 淮南 232038)

永磁同步電機(PMSM)因其體積小、性能好、結構簡單、可靠性高、快速響應能力強、具有高效率及良好的動靜態特性等優點，被廣泛的應用于高精度位置控制的伺服系統，如在工業機器人、航空航天、數控機床、精密電子儀器設備[1]等電動機性能、控制精度要求較高的應用場合與領域得到了廣泛的應用.然而，PMSM的精確的位置控制卻由于其速度和電流的非線性耦合以及轉矩方程中的非線性而變成一個復雜的問題[2].因此從電機的非線性入手，實現PMSM的高性能控制具有重要的意義.隨著現代控制理論的發展，非線性技術逐步應用到電機控制系統中，如Backstepping[3]、反饋線性化[4]、無源性控制[5]方法等，但是這些方法都存在一定的局限性，為了達到精確地位置控制，克服以上方法的局限性，本文將采用新的控制方法——終端滑模控制器，它是一種快速控制機制[6-12]，當系統狀態在有限時間內收斂時，它的性能達到理想點.對于強耦合高階系統，當某些狀態在有限時間內達到零時，將對其它狀態不再有影響.本文是在文獻[11]的基礎上利用文獻[13]中的數學模型所做的進一步研究.

1 系統描述

以定子d、q軸電流id，iq和轉子角速度ω為狀態變量，永磁同步電動機的數學模型可表示為

(1)

控制任務:希望通過調節定子的電壓ud和uq，使得轉子角速度ω在有限時間內達到理想的轉子角速度ω*.

定義跟蹤誤差為x1e=ω-ω*，并記

x2e=iq，x3e=id

則系統(1)可化為

(2)

2 控制器設計

首先取電壓輸入信號ud為

(3)

其中β>0為一設計參數.由系統(2)的最后一個方程得

(4)

從而，x3e在有限時間T0內收斂到零.于是，當t>T0時，方程(2)變為

(5)

下面引入一個坐標變換使得系統(5)化為可控標準形，使之在新坐標系下更便于設計TSM控制器.定義坐標變換為

(6)

其中y1，y2相應于廣義跟蹤誤差.于是系統(5)可化為

定義

(7)

則V是一種廣義的電壓輸入信號，不具有實際的物理意義.

下面設計V，使得yi(i=1，2)在有限時間內收斂到零.取TSM流形[7]為:

(8)

其中β1為正常數，p1>q1為正奇數，取

(9)

當y1，y2收斂到零時，由可逆變換(6)可知，x1e在有限時間T之后變為零，由x1e的定義可知ω(t)在有限時間內分別完全跟蹤理想狀態ω*(t).

由(3)、(6)和(7)可求得d軸與q軸電壓分別為:

(10)

t>T時，由上述分析易知電壓uq為有界的信號.

由上述分析，不難得到如下的定理:

定理1 對于給定的永磁同步電動機系統(1)，設ω*表示理想的轉子角速度.電壓輸入信號uq由(10)式給出，TSM切換面由(8)式給出，則在某一有限時間之后，轉子角速度ω將精確地跟蹤到理想的轉子角速度ω*，跟蹤誤差達到零并且永遠保持為零.且在整個跟蹤過程中，閉環系統的所有信號是有界的.

永磁同步電動機系統(1)的TSM控制器的設計步驟如下:

(1)取控制律uq=0，ud如(3)式所示，則x3e在有限時間T0內收斂到零;(2)在T0間之后，取廣義電壓輸入信號V如(9)式所示，則y1，y2在有限時間T內收斂到零，即x1e，x2e在有限時間T內收斂到零.且控制量ud，uq，V在整個控制過程中是有界的.

3 仿真研究

對于給定的PMSM系統(1)，其參數設置如下:定子電阻R1=0.9，電機極對數np=2，d軸等效電感Ld=0.732×10-3H，q軸等效電感Lq=0.216×10-3H，電機轉矩常數ψr=0.506Nm/A2，電機轉動慣量J=2.99×10-4kg·m2，負載粘滯摩擦系數B=0.035N·m·s/rad，負載有關正的位置常數

TL=4.08N·m.

TSM參數取為:

q=q1=3，p=p1=5，β=β1=5，K=5

初始值為:x1(0)=-1，x2(0)=5，x3(0)=5， 理想的負載速度ω*為:

ω*=πcos(2t)(1-e0.3t3)+0.45πsin(2t)e-0.3t3，

仿真圖像如圖1所示.其中圖(a)和(c)、(d)為跟蹤誤差和控制律隨時間的變化曲線.圖(b)為實際轉子的速度跟蹤理想的轉子的速度隨時間的變化曲線.由圖(a)可知跟蹤誤差x1e在大約6.5秒時收斂到零，表明通過調節定子的電壓Vd和Vq，使得轉子速度ω在大約6.5秒時間內達到理想的轉子速度ω*.由圖(b)可以看出實際轉子的速度ω在有限時間(6.5秒)以后可以實現對理想轉子速度ω*的完全跟蹤.由圖(c)表明控制律Vq在整個控制過程中始終是有界的;圖(d)表明控制律Vd在t=0.5秒時達到零并永遠保持為零.

本文將遞推TSM有限時間收斂的控制方法應用于PMSM系統，充分利用了有限時間跟蹤控制方法的分析簡單，動態響應快，應用廣泛等優勢，保證了系統狀態在有限時間內達到完全跟蹤的目的.仿真結果充分顯示了該控制策略的有效性.

圖1 跟蹤誤差、轉子速度和控制律隨時間的變化曲線

參考文獻：

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[13]張波，李忠，毛宗源，等.一類永磁同步電動機混沌模型與霍夫分叉[J].中國電機工程學報，2001，21(9).