一平面Hamilton系統的Abel積分零點的個數估計

徐 姜，別利堅

(通化師范學院 數學系，吉林 通化 134002)

1 引言

對于Hamilton系統的n次擾動系統

(1)

其中H(x，y)，f(x，y)，g(x，y)是x，y的多項式，

max{degf(x，y)，degg(x，y)}=n，

degH(x，y)=m，ε是小參數.

本文研究當

(2)

的Abel積分零點個數估計問題.

2 I(h)的代數構造

(3)

的閉分支，于是系統(2)的Abel積分為

(4)

定理1 系統(2)的Abel積分I(h)可表示為

I(h)=α(h)I0(h)+β(h)I2(h)，

這里α(h)，β(h)是h的多項式.當n≥1時，

定理2 存在Tn(x，y)，R(x，y)，使得

這里

degTn(x，y)=degRn(x，y)=2n+1，

由此可知存在g(x，y)，deg(x，y)≤2n+1，使得

即p，q分別是degα(h)，degβ(h)的上確界.

3 Abel積分的零點個數估計

由以上定理，得

(5)

#{I(h)=0}=#{p=0}.

由(4)，(5)式知

于是由廣義羅爾定理

若α(h)，β(h)有公因子pm(h)，則

α(h)=pm(h)α1(h)，β(h)=pm(h)β1(h)

于是

I(h)=pm(h)[α1(h)I0(h)+β1(h)I2(h)]，

其中

degα1(h)≤p-m，degβ1(h)≤q-m，

α1(h)與β1(h)互素.從而

#{I(h)=0}=#{pm(h)=0}+
#[α1(h)I0(h)+β1(h)I2(h)=0]

而#{pm(h)=0}≤m，同上面的討論

于是

4 結語

參考文獻：

[1]張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論[M].北京:科學出版社，1985.

[2]NOVIKOVD， YAKOVENKOS. Simple exponential estimate for the number of real zeros of complete Abelian integrals [J].Ann. Inst.Fourier，Grenoble，1995，45: 897-927.

[3]宋燕.一平面Hamilton系統的Abel積分的零點個數估計[J].數學研究與評論，2003，11(4).

[4]趙育林.三次Hamilton向量場的Abel積分[D].北京:北京大學博士研究生學位論文，1998.