矩形的弦長分布

李德宜，楊佩佩，李 亭

（武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢，430065）

1 基本方法

設(shè)D為平面凸體，即具有非空內(nèi)部的緊凸集。G＝G（p，φ）為平面中的直線，其廣義法式方程[1]為xcosφ＋ysinφ＝p，稱（p，φ）為直線G的廣義法式坐標(biāo)。用λi（E）表示點集E的i維測度。σ表示直線G被凸體D截出的弦長，σ＝λ1[G（p，φ）∩intD]，當(dāng)G僅與邊界?D相交時（含G∩?D是線段的情形），約定σ＝0。

定義1 設(shè)D為平面凸體，對任意給定的σ及φ（0≤φ＜2π），稱二元函數(shù)

為凸域D的廣義支持函數(shù)[1－2]。

定義2 以σM（φ）表示垂直于φ方向的直線G被凸體D截出的弦長最大值，即

對任意給定的l（≥0）及φ（0≤φ＜2π），令

稱二元函數(shù)r（l，φ）為凸域D的限弦函數(shù)[1－2]。

定理1[3]設(shè)K為周長等于L的凸體，G為隨機直線，則有

2 凸體弦長分布函數(shù)的定義

設(shè)K為周長等于L的平面凸體，有關(guān)K的一些隨機變量、平均量得到了廣泛關(guān)注和研究，比如K內(nèi)兩點間的平均距離[4]、平均弦長[5]等。設(shè)G為隨機直線，當(dāng)G與K相交時，G被K截得的弦長σ也是隨機的，本文討論弦長的分布。

定義3 設(shè)K為平面凸體，G為與K相交的隨機直線，截出的弦長為σ，弦長分布函數(shù)[3]F（）y定義為

3 矩形的弦長分布函數(shù)

對于光滑嚴(yán)格凸的凸體，較容易求出弦長分布函數(shù)，但當(dāng)凸域具有平行邊時，因為弦長定義中的特殊約定，對它的處理則需要單獨進行。

定理2 邊長為a和bb≤（）a的矩形的弦長分布函數(shù)F（y）為

證明：在平面上取直角坐標(biāo)系xoy，設(shè)矩形域為（R），不失一般性，可設(shè)b≤a，矩形的直徑記為d，由對稱性，可以僅考慮的情形。此時，矩形的最大弦長函數(shù)為

矩形域（R）的限弦函數(shù)r（l，φ）為

矩形的廣義支持函數(shù)為

求矩形的弦長分布主要是求出積分

等式右邊第3項是由于平行邊而必須添加的，即

等式右邊第3項和第7項是由于平行邊而必須添加的，即

根據(jù)矩形的對稱性

證畢。

推論 邊長為a的正方形的弦長分布函數(shù)為

[1] 任德麟.積分幾何學(xué)引論[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1988：3－5，71－73.

[2] Ren Delin.Topics in integral geometry[M].Singapore：World Scientific，1994：70－78.

[3] L A Santalo.積分幾何與幾何概率[M].吳大任，譯.天津：南開大學(xué)出版社，1991：40－89.

[4] 程鵬，李壽貴，許金華.凸域內(nèi)兩點間的平均距離[J].數(shù)學(xué)雜志，2008，28（1）：57－60.

[5] 趙靜，李德宜，王現(xiàn)美.凸域內(nèi)弦的平均長度[J].數(shù)學(xué)雜志，2007，27（3）：291－294.