對一道彈簧連接體問題的奇思妙想
——2009年高考江蘇卷物理第9題

韋葉平 董文杰

(前黃高級中學 江蘇 常州 213161)

原題：如圖1所示，兩質量相等的物塊A，B通過一輕質彈簧連接，B足夠長,放置在水平面上，所有接觸面均光滑.彈簧開始時處于原長，運動過程中始終處在彈性限度內.在物塊A上施加一個水平恒力F，A，B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有

A．當A，B加速度相等時，系統的機械能最大

B．當A，B加速度相等時，A，B的速度差最大

C．當A，B的速度相等時，A的速度達到最大

D．當A，B的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大

圖1

1 有“瑕疵”的常規解法

對物體施加恒力F后，物體A隨彈力的增大做加速度減小的加速運動，B受彈力做加速度增大的加速運動.t1時刻速度第一次相同，彈簧拉伸到最長，反映在v-t圖像上，圖線與時間軸圍成的面積之差最大，即SOAPB最大(圖2) .

1.1 幾點思考

(1)如圖2所示，t1時刻，物體A的加速度等于零(圖線斜率為零)，即F=F彈;可知此時物體B的加速度等于物體A在t=0時刻的加速度，即F彈=F=ma(初始時刻物體A僅受恒力F作用).綜上分析得,圖線A與B關于中心對稱.

(2)t1時刻之后，彈簧逐漸向原長恢復，A做加速度增大的加速運動，B做加速度減小的加速運動.當速度再次相同時，如圖2 中t2時刻,圖線和時間軸圍成的面積與上次相同，即彈簧恢復原長.以后重復這種運動.

(3)從質心的角度理解，由F=(mA+mB)aC可知，質心加速度恒定，做初速度為零的勻加速直線運動.系統的速度-時間圖線，如圖2中虛線C，物體A，B的速度不斷增大，但加速度周期性變化.

圖2

(4)在圖2中，圖線A，B處切線的斜率相等，即加速度相同時，速度相差最大.

綜上，不難得出正確答案：B，C，D.

1.2 疑問

筆者和同事們有同樣的疑問，物體A的加速度剛好減小到零時，兩物體速度相等；可不可能出現如圖3所示的情況呢？即物體A的加速度反向后在t1時刻兩物體的速度相等.那么，選項B，C出現了問題.

圖3

2 理論分析

2.1 驗證圖2

為此我們利用非慣性系和微積分知識作如下分析：選取B為參考系，當A相對B運動的位移為x時，對B有

κx=ma

對A有

得

積分之

得

2.2 進一步思考

若A,B的質量不等,對B有

κx=mBa

對A有

得

積分得

圖4

3 利用“仿真物理實驗室”輔助物理教學

非慣性系和微積分知識在高中物理學習階段的要求不高，學生在靈活運用方面存在困難.筆者在思考,能否在理論分析的基礎上，通過現代教育技術手段模擬物理過程？ “仿真物理實驗室”是一種集模擬物理過程、即時數據分析、描繪物理圖像等為一體的優秀教學軟件.它為物理課堂的教與學提供了豐富而又方便的創造功能，使用者可以根據需要模擬宏觀或微觀、高速或低速、化靜為動等平常無法實現或在現有中學實驗條件下無法完成的實驗.

為了觀察的效果更加明顯，筆者設定了一些數據:mA=mB=2 kg ，F=1.5 N，勁度系數κ=0.3 N/m，原長l0=0.6 m.其中，A,B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程,如圖5中虛線框所示；同時，此后的運動圖像也可以描繪出來.這樣學生就能更加清晰地理解運動的整個過程.圖5的“波形”圖線中，“波谷”M點表示彈簧處于原長狀態；N點表示彈簧拉伸到最長狀態.彈簧長度的變化過程在“波形”圖線上也能一目了然.

圖5

圖6

取mA=1 kg，mB=2 kg ，κ=0.5 N/m，其他物理量不變.“仿真物理實驗室”描繪的圖像如圖6所示，類似于圖3.

取mA=2 kg，mB=1 kg ，κ=0.3 N/m ，其他物理量不變.如圖7所示，類似于圖4.

圖7

“仿真物理實驗室”雖然形象直觀，但對于較為復雜的運動，設計者必須清晰物理運動過程及各個物理量之間的聯系，才能設計出理想的實驗，得到理想的效果.如本題的模擬過程中，就要利用該程序提供的“程序語言”進行適當的編程，圖8是編程的對話框，在圖9中筆者摘錄了“mA=mB=2 kg”情況下的編程程序.

圖8 編程框圖

圖9 圖8中的程序

4 奇思妙想

在教學中，如何讓學生感覺簡單易懂？筆者除了介紹“有瑕疵的常規解法”(v-t圖解法)，還不斷在探索新的思路和方法.下面一種解法供讀者探討，有不當之處還望批評指正.

圖10

選取系統的質心為參考系(質心向右做勻加速直線運動)——這也是此法的巧妙之處，即x既是彈簧的形變量，也是物體A,B之間的相對位移.

思考：圖線與x軸圍成的面積表示什么呢？

當橫坐標等于x時，物體A的加速度等于零，即

F=F彈=κx

對物體B有

F彈=κx=maB

所以A,B圖線與橫坐標圍成的面積相等，即vA=vB，彈簧伸長最大，彈性勢能最大.之后A做加速度增大的加速運動，B做加速度減小的加速運動，彈簧向自然長度恢復，如圖10中右側虛線部分.

對mA≠mB的進一步思考.

圖11

圖12

(2)若mA>mB，如圖12所示.當橫坐標M=x，即物體A的加速度等于零時，兩圖線與坐標軸圍成的面積不相等.要保證面積相等，即速度相等，亦即橫坐標為N點處，此時aB>aA>0.與圖7對比.

5 找到創新解題的樂趣

筆者在總結撰寫本文時，也非常開心，興趣濃厚，一氣呵成.學生如果也能通過平時的思考與總結，發現別人不能發現的問題，體會到學習物理的成就感，必然會興趣十足，也一定能夠學好物理.雖然新的解法可能存在一定的“瑕疵”或者“錯誤”，但我們通過共同探討，發現錯誤，也是一種進步.所以，筆者撰寫本文的目的也是想以此來激勵廣大教師能不斷思考，不斷創新，在創新中成長！