例析用極限法解能量問題

谷喜蘋

(武邑中學 河北 衡水 053400)

高中物理學習中有一些求能量最大值或最小值的問題.解決這類問題，很多學生開始總習慣用數學極值法，即運用數學思想與方法去描述、計算和推導，從而對物理問題作出分析、判斷，之后列出關于所求量的數學表達式，再利用數學不等式或求極值的方法，算出結果.這種方法盡管確實能把題目做出，但是往往很費時間.若通過分析物理情景，把事物的發展推到極限，從而找出出現極值的重要條件，就能達到事半功倍的效果.以下幾個典型題目，可顯示這種極限法解題的特點.

【例1】在光滑水平臺面上，質量m1=4 kg的物塊1與質量m2=1 kg的物塊2相向運動，發生正碰.若物塊1，2分別具有動能E1，E2,二者之和為100 J，問E1，E2各為多少時，碰撞中損失的機械能最大？

解析：由于兩物塊組成系統總動能為100 J，碰撞過程若損失機械能最多，則只需把所有動能都損失掉，即碰后兩物塊都靜止.

由動量守恒定律有

m1v1+m2(-v2)=0

所以

m1v1=m2v2

由

得

E1∶E2=m1∶m2=1∶4

又

E1+E2=100 J

所以

E1=20 JE2=80 J

【例2】如圖1，光滑水平面上有一長木板，上表面水平且光滑，右端用不可伸長的細繩拴在墻上，細繩處于繃直狀態，左端上部固定一輕彈簧.給質量為m的鐵球一個瞬時沖量I0，使其在木板的上表面向左運動，并壓縮輕彈簧.當鐵球的速度減小為原來的一半時，細繩剛好被拉斷，木板開始向左運動.為使木板獲得的動能最大，木板的質量M為多大？

圖1

解析:由動量定理得

I0=mv0-0

(1)

要使木板獲得的動能最大，就讓整個系統的總機械能都轉化為木板的動能.也即彈簧恢復原長時，球的速度為零.

由動量守恒定律可知

(2)

由系統機械能守恒定律知

(3)

由(2)、(3)式解得

可得

此即木板的質量.

圖2

【例3】 (2010年高考上海卷物理第25題)如圖2所示，固定于豎直面內的粗糙斜桿，在水平方向夾角為30°.質量為m的小球套在桿上(圖2).在大小不變的拉力作用下，小球沿桿由底端勻速運動到頂端.為使拉力做功最小，拉力F與桿的夾角α=______，拉力大小F=______.

圖3

解析：從能量角度思考，小球是從底端被勻速拉到頂端的，無論F力大小和方向怎樣，小球的動能都不變，重力勢能的增加量都相等.唯一有區別的就是克服摩擦力做功的多少不同.由功能關系知,當摩擦力為零，即不需要克服摩擦力做功時，拉力做功就最少.因此對球進行受力分析(圖3),可得

所以

由以上幾題的分析可知，應用極限的思想解決物理問題，往往能將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而找到簡捷、明快的解題思路和方法.