靜電平衡狀態下導體球的電荷分布

陳星 朱俏燕

(無錫市第一中學 江蘇 無錫 214031)

1 引言

孤立導體的電荷分布已經多有研究[1～2]，但靜電平衡狀態下導體電荷分布的定量研究稍顯少些[3]，尤其是導體接地與否對電荷分布的影響方面的研究.本文就是以導體球為例，通過求解空間電勢并利用導體邊界條件中電勢與電荷面密度的關系探討導體球在兩種典型電場中靜電平衡下的電荷分布[4].

2 兩種典型電場中導體球的電荷分布

2.1 無窮大勻強電場中不接地導體球的電荷分布

假設不帶電的導體球放入如圖1所示的勻強電場中，導體外空間無電荷分布.

圖1

欲求該導體球的電荷分布，可求解其電勢在導體外空間軸對稱情形下的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(1)

(2)

其中，φ為導體外空間的電勢，它是由勻強電場和導體球共同激發的.勻強電場無窮大，所以，可以規定O處的電勢為零.而導體是等勢體，所以全空間的邊界條件為

代入上述通解.

取n=1

由

得

由

有

aRcosθ=-E0Rcosθ

得

可得φ的特解

(3)

根據靜電平衡時的導體邊界條件，導體球的電荷面密度

3ε0E0cosθ

(4)

取 3ε0E0=1，根據(4)式，可以畫出導體球面密度σ隨θ的變化關系，如圖2(a)所示.由此圖還可示意畫出導體球表面電荷分布，如圖2(b)所示.

由圖2可見，在無窮大勻強電場中，不接地導體球達到靜電平衡后，在其兩端將分別帶上異號電荷，并會按照導體球的中軸線按余弦規律對稱分布.所以，導體球帶的總電荷為零.這也恰好驗證了導體靜電感應規律，即在靠近正電荷的端感應出負電荷，在靠近負電荷的端感應出正電荷.但感應電荷的總量為零.

圖2

2.2 無窮大勻強電場中接地導體球的電荷分布

現在假設原來不帶電的導體球放入勻強電場中，并使其接地，如圖3所示.求導體球的電荷分布.

圖3

在導體球外空間，仍然可以列出電勢的軸對稱情形下的拉普拉斯方程，其形式與(1)、(2)式無異.而邊界條件也仍然是

可見，接地與不接地的拉普拉斯方程及邊界條件是一樣的;所以，電勢的解也是一樣的.因而接地時的導體電荷面密度分布與不接地時相同，如圖2(a)和圖2(b)所示.這可能與我們的直覺不太一樣.從靜電平衡的角度看，導體球所處的位置似乎電勢應該大于零，導體接地后，電子將由低電勢(大地)流向高電勢(導體球).但事實上，由于電場無窮大，故在其中任意一點都可以看成是既遠離正電荷、又遠離負電荷的零電勢點，所以，放入其中的導體球接地后，由于是零電勢與零電勢相連，就不會有電子從大地流向導體球，也不會帶多余的電荷.所以，在無窮大勻強電場中，導體球接地與不接地都不會影響其按余弦規律對稱分布的電荷.

2.3 點電荷電場中的接地導體球的電荷分布

由于空間有了點電荷分布，所以，不能再通過解拉普拉斯方程來求解空間電勢φ.這時，可以采用鏡像法.

如圖4(a)，假設導體內有一個電荷Q′ ，導體接地時，在Q′和Q的作用下，使導體球成為零等勢體，于是可得

△OPQ′∽△OQP

由此，可解出

圖4

則在圖4(b)中空間任意一點P處的電勢就為

(5)

導體球上的電荷面密度

(6)

圖5

從兩圖中可見，在點電荷電場中，導體球接地后，將完全帶上與點電荷極性相反的電荷，并將不均勻的分布在導體球表面.其中，靠近點電荷的部分電荷面密度大一些，遠離點電荷的部分電荷面密度小一些.從靜電平衡的角度講，在這樣一個正的點電荷的電場中，其電勢為正.所以，導體球接地后，電子將會由低電勢(大地)流向高電勢，故導體球會帶上負電.

2.4 點電荷電場中不接地導體球的電荷分布

當導體球不接地時，根據導體的靜電平衡條件，導體仍然是等勢體.與上述接地情形類似，先假定在導體球內有一個假想電荷Q′，在Q′和Q的作用下使導體成為零等勢體.則仍然可有

但導體未接地，它當然也不是零等勢體.這時，我們可以再在導體球的中心處假想有一個點電荷Q″，在Q″、Q′和Q的共同作用下，使導體球成為滿足條件的非零等勢體,如圖6所示.

圖6

對于整個導體球而言，由靜電場的高斯定理，它的總電通量應該為零，故有

于是，導體球外空間任意一點P的電勢為

(7)

導體球的電荷面密度

(8)

如果把接地與不接地兩種情形進行對比，還可發現：從不接地到接地，將有電子從大地流向導體球，流上來的電量要不僅僅中和掉原來左側的正電荷，還要使其帶上與之相反的負電；同時，還要補充右側負電荷量，使其在σ軸上有一個整體的下移.但觀察(6)式和(8)式及圖5(a)和圖7(a)很容易發現，接地與不接地，σ關于θ的變化函數僅僅差一個常數項；接地時僅僅是不接地時σ的一個上移.所以，不論接地與否，電荷面密度關于角度的變化走向是相同的.如果在導體球的兩端分別連接一個驗電器，則由以上分析可判斷，當導體未接地時，左右兩邊驗電器箔片都會張開；接地后，左邊箔片將會先閉合再張開，而右邊箔片張角將會在原來的基礎上變大.

參考文獻

1 呂長榮，劉曉軍，高紅. 電磁學. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2000. 48

2 韓素紅. 關于孤立導體表面電荷分布的討論. 大同職業技術學院學報，2004(4)：31

3 李敬. 導體表面的電荷分布. 云南大學學報(自然科學版)，1998，20(31)

4 郭碩鴻. 電動力學. 北京：高等教育出版社， 1997. 61