用靜電計(jì)測(cè)平行板電容器電勢(shì)差實(shí)驗(yàn)的定量分析

鄔夏波

(岱山中學(xué) 浙江 岱山 316200)

靜電計(jì)是一種用來(lái)測(cè)量導(dǎo)體間電勢(shì)差的儀器，由于它與驗(yàn)電器非常相似，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中很容易把兩種儀器混淆．高中物理教材中“研究影響平行板電容器電容大小的因素”的實(shí)驗(yàn)(圖1)就是利用靜電計(jì)來(lái)測(cè)量平行板電容器兩極板之間的電勢(shì)差.在不改變平行板電容器帶電荷量Q的條件下，通過(guò)改變極板間距離、正對(duì)面積或相對(duì)介電常量三個(gè)物理量中的一個(gè)，從而達(dá)到改變兩極板間電勢(shì)差的目的．對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)及其解釋需作進(jìn)一步的說(shuō)明, 否則學(xué)生就有可能提出這樣的問(wèn)題：既然實(shí)驗(yàn)的前提是不改變平行板兩極所帶的電荷量,然而靜電計(jì)的電荷量Q計(jì)的變化卻正是電荷在平行板電容器與靜電計(jì)間轉(zhuǎn)移的結(jié)果, 這是否與實(shí)驗(yàn)的前提條件相矛盾呢?下面就這個(gè)實(shí)驗(yàn)做定量的分析和討論．

圖1

靜電計(jì)是由金屬球A(包括金屬球、連桿、指針)與外殼B組成，A，B之間彼此絕緣，因而構(gòu)成了一個(gè)電容器C計(jì)．把靜電計(jì)的金屬小球A與平行板電容器的一個(gè)極板連接，外殼B與另一極板連接(或者把另一極板和靜電計(jì)的外殼B同時(shí)接地)．這時(shí)靜電計(jì)與平行板電容器就組成了并聯(lián)電容器組

C并=C計(jì)+C板

若總的電荷量為Q，則并聯(lián)電容器組電勢(shì)差

此時(shí)靜電計(jì)的帶電荷量

平行板電容器的電荷量

靜電計(jì)的電容量是非常小的，而且是不變的，利用專門儀器測(cè)得外殼半徑為9 cm的靜電計(jì)的電容量約為9 pF．若取靜電計(jì)電容10 pF，取平行板電容器的電容量100 pF，則它們所帶的電荷量分別為

平行板電容器和靜電計(jì)兩板之間的電勢(shì)差U相同，取平行板電容器的數(shù)據(jù)計(jì)算，得

以上所得數(shù)值中都帶有總電荷量Q，為簡(jiǎn)化，把這些結(jié)果均除以總電荷量Q，得到歸一化值.

另外，當(dāng)平行板電容器的電容量從800 pF減少到400 pF，靜電計(jì)歸一化電荷量從0.012增加到0.024，它們的歸一化電勢(shì)差從1.23×109V增加到2.44×109V，轉(zhuǎn)移的電荷量和電勢(shì)差的變化分別為

ΔQ=0.024-0.012=0.012

ΔU=(2.44-1.23)×109V=1.21×109V

將所得結(jié)果列在表1中.

通過(guò)表1可以知道，在平行板電容器的電容量C板遠(yuǎn)大于靜電計(jì)的電容量C計(jì)時(shí)，平行板電容器的電荷量Q板會(huì)遠(yuǎn)大于靜電計(jì)帶的電荷量Q計(jì).若C板電容量為100 pF(為C計(jì)的10倍)時(shí)，靜電計(jì)的歸一化電荷量為0.091，而平行板電容器歸一化電荷量為0.909.若C板從800 pF減小到100 pF，轉(zhuǎn)到靜電計(jì)上的電荷量ΔQ相對(duì)于Q板可以忽略不計(jì).在這種情況下，平行板電容器的電荷量Q板幾乎不變，其電勢(shì)差發(fā)生了明顯的變化.

表1電容C板?C計(jì)情況數(shù)據(jù)C計(jì)=10 pF

現(xiàn)仍取靜電計(jì)的電容量C計(jì)=10 pF，當(dāng)平行板電容器的電容量C板與C計(jì)相差不多時(shí)，再將所得結(jié)果列于表2中.

表2電容C板接近C計(jì)情況數(shù)據(jù)U計(jì)=10 pF

從表2中可看出，平行板電容器的電荷量Q板跟靜電計(jì)所帶的電荷量Q計(jì)會(huì)相差不大.若C板=C計(jì)=10 pF，即它們的電容量相等時(shí)

Q計(jì)=Q板

而電容C板

Q計(jì)>Q板

若C板從40 pF減小到5 pF，轉(zhuǎn)到靜電計(jì)上的電荷量是相當(dāng)大的，相對(duì)于Q板不可忽略.在這種情況下，平行板電容器的電荷量發(fā)生了明顯變化，其電勢(shì)差也發(fā)生了明顯變化.

當(dāng)靜電計(jì)所帶電荷量發(fā)生改變時(shí)，根據(jù)同號(hào)電荷相斥原理，指針與連桿之間的夾角就會(huì)發(fā)生改變，這就是靜電計(jì)的工作原理.若實(shí)際使用的平行板的面積S為0.5 m2，板的間距d為2 cm，以空氣作為電介質(zhì)，此時(shí)的電容約為200 pF.這時(shí)在實(shí)驗(yàn)中C板遠(yuǎn)大于C計(jì)，那么靜電計(jì)上的電荷量及電荷量的轉(zhuǎn)移是很小的，其電荷量主要在平行板電容器上，平行板電容器的電荷量幾乎不變.靜電計(jì)測(cè)平行板電容器的電勢(shì)差利用的是靜電計(jì)上微小電荷量的改變，從而改變指針的張角，指針張角反映了平行板的電勢(shì)差.

在靜電實(shí)驗(yàn)中，由于帶電體一般電壓都比較高，用普通的電壓表測(cè)量靜電電壓通常并不合適:一是容易超過(guò)電壓表的量程；二是待測(cè)物體所帶電荷量很少，該電荷量通過(guò)電壓表內(nèi)部的通路會(huì)很快放完.所以必須使用電阻無(wú)窮大的靜電計(jì)測(cè)量靜電電壓.如此來(lái)說(shuō)，靜電計(jì)可以代替電壓表測(cè)量直流電路上的電壓，但由于靜電計(jì)的量程很大，其刻度一般以靜電伏sV為單位(1 sV約為300 V).當(dāng)待測(cè)電壓較小時(shí)，靜電計(jì)指針幾乎不會(huì)偏轉(zhuǎn).因此靜電計(jì)指針要發(fā)生明顯偏轉(zhuǎn)，對(duì)帶電荷量Q的要求其數(shù)量級(jí)至少應(yīng)為10-7C，這也是圖1實(shí)驗(yàn)成功的主要原因.若實(shí)際使用的平行板的面積S為0.04 m2，板的間距d為2 cm，以空氣作為電介質(zhì)，此時(shí)的電容約為18 pF.這時(shí)在實(shí)驗(yàn)中C板與C計(jì)相差不多，靜電計(jì)上的電荷量與平行板電容器的電荷量會(huì)十分接近.當(dāng)平行板的電容發(fā)生改變時(shí)，其電荷量的轉(zhuǎn)移相當(dāng)多，此時(shí)平行板電容器的電荷量也發(fā)生了顯著的變化.

總之, 靜電計(jì)作為一種測(cè)量電勢(shì)差的儀器，實(shí)際上正由于電荷量的轉(zhuǎn)移對(duì)平行板所帶電荷量的影響可忽略，因而可以認(rèn)為靜電計(jì)是測(cè)量電勢(shì)差的儀器.其測(cè)量的準(zhǔn)確度由被測(cè)導(dǎo)體和靜電計(jì)的電容及其接觸情況所決定.C計(jì)比C板越小，其測(cè)量的準(zhǔn)確度越高.若把靜電計(jì)的外殼接地，靜電計(jì)的極間電容C計(jì)遠(yuǎn)小于被測(cè)帶電體的對(duì)地電容時(shí)，靜電計(jì)指示的是被測(cè)帶電體對(duì)地的電勢(shì).用靜電計(jì)測(cè)平行板電容器兩極間電勢(shì)差演示實(shí)驗(yàn)的成功，正是C計(jì)遠(yuǎn)大于C板這一前提條件滿足的結(jié)果.由于靜電計(jì)與驗(yàn)電器都是利用同號(hào)電荷相斥原理，因而靜電計(jì)也可以檢驗(yàn)物體是否帶電.