彈簧振子勢能問題的探討

馮蒙麗 宋春榮 劉協(xié)權(quán)

(石家莊軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部 河北 石家莊 050003)

在大學(xué)物理中，以能量守恒和轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)去研究具體運(yùn)動(dòng)形式所遵循的規(guī)律是物理學(xué)基本的研究方法[1]．而對于重要的運(yùn)動(dòng)基本形式之一——簡諧振動(dòng),有的教材未對其能量作充分的討論[2]．

在講解彈簧振子能量時(shí)，由于某些教材及教師對系統(tǒng)內(nèi)成對保守內(nèi)力做功、參照系選取等內(nèi)容強(qiáng)調(diào)不夠,使學(xué)生不能準(zhǔn)確理解彈性勢能的概念[3]．水平放置和豎直放置的彈簧振子其振動(dòng)表達(dá)式相同，動(dòng)能和勢能表達(dá)形式也一樣，物理意義卻完全不同；前者為單純振子與彈簧組成系統(tǒng)的彈簧性勢能,而后者卻是振子在彈性力勢場和重力勢場組成的復(fù)合勢場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，復(fù)合勢場所對應(yīng)的勢能，即為彈性勢能與重力勢能的疊加．這部分的講解涉及到對勢能定義的理解，也是學(xué)生理解的難點(diǎn).在與水平彈簧振子進(jìn)行對比的基礎(chǔ)上，從兩個(gè)角度對豎直彈簧振子的能量進(jìn)行分析．

1 水平放置的彈簧振子能量

水平放置的彈簧振子如圖1所示.簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

圖1

其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

x=Acos(ωt+φ)

水平放置的彈簧振子的動(dòng)能為

勢能(彈性勢能)為

總機(jī)械能

E=Ek+Ep=

2 豎直放置的彈簧振子能量勢能零點(diǎn)的選擇

豎直放置的彈簧振子能量，教材中通常只給出動(dòng)力學(xué)方程，然后給出彈簧振子勢能仍為

2.1 以彈簧平衡點(diǎn)為勢能零點(diǎn)

通常研究討論中會(huì)以平衡點(diǎn)作為彈簧勢能和重力勢能零點(diǎn)． 如圖2所示, 豎直放置彈簧振子，設(shè)輕彈簧的勁度系數(shù)為κ，原長為l0，振子質(zhì)量為m，平衡狀態(tài)下彈簧伸長到l．以平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示坐標(biāo)系．

當(dāng)振子偏離平衡點(diǎn)x時(shí)，則彈簧振子勢能為

上式右邊方括號內(nèi)為彈性勢能，后邊圓括號內(nèi)為重力勢能.

圖2 彈簧平衡點(diǎn)為勢能零點(diǎn)

又因?yàn)?/p>

mg=κ(l-l0)=κΔl

所以

可見重力勢能恰好與部分彈性勢能互相轉(zhuǎn)換而抵消.由mg=κΔl可知，重力被抵消，使系統(tǒng)的總勢能不出現(xiàn)重力勢能．

這是通常采用的方法.對于兩個(gè)勢能采用一個(gè)勢能零點(diǎn)，優(yōu)點(diǎn)在于推導(dǎo)簡便，有助于深刻理解勢能相對性的內(nèi)涵；缺點(diǎn)在于按照初學(xué)者的慣性思維，對于重力勢能的相對性應(yīng)用熟練，而彈性勢能仍舊習(xí)慣采用原長為彈性勢能零點(diǎn).筆者認(rèn)為依照慣性思維循序漸進(jìn)進(jìn)行學(xué)習(xí)講解，也不失為一個(gè)好辦法．

2.2 以彈簧原長為勢能零點(diǎn)

彈簧振子系統(tǒng)不變，以彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)(圖3).對于重力勢能零點(diǎn)選取待定，為了探討的方便，我們暫時(shí)使重力勢能為mgh．則

上式右邊方括號內(nèi)為彈性勢能，后邊圓括號內(nèi)為重力勢能，即

又因?yàn)?/p>

mg=κ(l-l0)=κΔl

所以

得

可見只要選取一個(gè)重力勢能零點(diǎn)，使得此式成立，即可滿足系統(tǒng)勢能為

圖3 以彈簧原長為勢能零點(diǎn)

這種方法優(yōu)點(diǎn)在于按照學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律學(xué)習(xí)，易于理解接受；缺點(diǎn)在于選取兩個(gè)勢能零點(diǎn)稍顯繁瑣．

3 結(jié)束語

實(shí)踐證明第二種方法對初學(xué)者講解效果更佳.可在第二種方法的基礎(chǔ)上再介紹第一種方法，既有利于學(xué)生對彈簧振子能量的理解，又能更加深刻理解勢能零點(diǎn)選取的相對性．

參考文獻(xiàn)

1 楊青勇,李作春.簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的勢能，南寧師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào), 2001( 4 )：75～77

2 康穎.大學(xué)物理.北京：科學(xué)出版社，2005.139～140

4 熊正文.關(guān)于彈性勢能與勢能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)選取問題的討論.黔東南民族師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002(12):11～12