熱傳導方程幾種差分格式的MATLAB數值解法比較

馮立偉

(沈陽化工大學數理系，遼寧沈陽110142)

許多工程問題需要研究熱量在物體內部的傳導情況或某種物質在液體中的擴散情況，因此研究熱傳導問題特別是非穩態熱傳導問題十分重要.目前熱傳導方程已有多種求解格式［1－2］.MATLAB是目前最流行、應用最廣泛的科學和工程計算軟件.MATLAB基于矩陣運算，具有強大的數值運算能力和圖形可視化能力，是方便實用、功能強大的數學軟件［3］.用MATLAB求解常微分方程已有大量的研究［4－6］.王飛等介紹了如何使用MATLAB實現有限差分法求解微分方程［7］.高理平等給出了對兩點邊值問題有限元方法的程序［8］.李燦等對熱傳導問題的MATLAB數值計算進行了討論［9］.本文討論求解一維熱傳導方程幾種不同差分格式的MATLAB編程方法，并使用算例進行檢驗和對結果進行分析.

u(x，t)表示在t時刻物體內部坐標為x處的溫度，a是熱傳導系數，f(x，t)為熱源.

1 熱傳導方程差分格式

1.1 差分格式的建立

首先對x-t平面進行網格剖分.分別取h，τ為空間步長與時間步長，用2族平行直線xj= jh，tk=kτ將矩形區域［0，T］×［0，L］分割成矩形網格.

顯式格式:

隱式格式:

Crank-Nicolson格式:

Du Fort Frankel格式:

由Taylor公式容易得出:它們都與一維熱傳導方程相容，其截斷誤差分別為O(τ+h2)，O(τ+ h2)，O(τ2+h2)和O(τ2+h2)［1］.

1.2 初、邊值條件的處理

對定解條件進行離散化.由初始條件及第一類邊界條件，可直接得到:

1.3 穩定性分析

使用Fourier方法可知，當r≤1/2時顯式格式穩定.

隱式格式變為:

由Fourier方法可得隱式格式恒穩定.

Crank-Nicolson格式變為:

對于r＞0恒有增長因子|G|≤1，恒穩定.

Du Fort Frankel格式變為:

由Fourier方法可得Du Fort Frankel格式恒穩定.

2 差分格式的求解

顯式格式:將(6)式與離散化的初邊值條件結合，得到求解此問題的差分方程組:

由于初始時間層上的u值為已知，由(10)式即可算出u在第一層各個節點處的近似值u1j.重復使用此式，可以逐層計算出所有的

隱式格式:將(7)式與離散化的初邊值條件聯立，得差分方程組:

將上述方程組改寫成矩陣形式

此方程組是三對角方程組，且系數矩陣嚴格對角占優，故解存在唯一.通過在每一時間層上求解一個這樣的線性方程組得到在各個時刻各個網格點上的函數值.

Crank-Nicolson格式:將(8)式與離散化的初邊值條件聯立并整理，得差分方程組:

此方程組的系數矩陣嚴格對角占優，差分方程組解存在唯一.

程序如下:

Du Fort Frankel格式:將(7)式與初始條件及第一類邊界條件式聯立并整理將格式改寫為:

由于此格式是3層格式，需要事先知道前面2個時間層上的解，第1層上的解通過對初始條件離散可得，第2層上的解使用前面的任意1種2層差分格式得到，再用此格式求解其余時間層上的解.程序核心代碼如下:

3 數值實驗

使用前面4種不同差分格式求解下面熱傳導方程的初邊值問題.

此問題的真解為u(x，t)=e－π2tsin(πx).

定義誤差e=u－U，

取空間步長h=0.1，求解結果如圖1～圖6所示.

圖1 r=1時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.1 r=1 errors of several difference schemes‖ek‖2

圖2 r=時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.2 r=errors of several difference schemes‖ek‖2

圖3 r=時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.3 r=errors of several difference schemes‖ek‖2

圖4 r=時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.4 r=errors of several difference schemes‖ek‖2

圖5 r=時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.5 r=errors of several difference schemes‖ek‖2

圖6 r=0.67時各種差分方法的誤差‖ek‖2Fig.6 r=0.67 errors of several difference schemes‖ek‖2

4 結論

給出了使用MATLAB求解熱傳導方程幾種差分格式的方法和部分主要程序，通過數值實驗看到Du Fort Frankel格式和 Crank-Nicolson格式是誤差較小且實用的方法.

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［7］ 王飛，裴永祥.有限差分方法的MATLAB編程［J］.新疆師范大學學報(自然科學版)，2003，22 (4):22－27.

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